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Cours nombres complexes 4 c Christophe Bertault - MPSI Nombres complexes Le corps C des nombres complexes Dé ?nition Loi de composition interne Soit E un ensemble On appelle loi de composition interne sur E ou même loi sur E toute fonction de E ? E dans E

c Christophe Bertault - MPSI Nombres complexes Le corps C des nombres complexes Dé ?nition Loi de composition interne Soit E un ensemble On appelle loi de composition interne sur E ou même loi sur E toute fonction de E ? E dans E Explication Une loi interne c ? est ce que vous avez appelé une opération ? dans les classes antérieures l ? addition des réels la multiplication des réels l ? addition des vecteurs Dans tous les cas une loi interne transforme deux objets d ? un certain type ?? des vecteurs ? ??u et ? ??v par exemple ?? en un nouvel objet du même type ?? le vecteur ?? ?u ?? ?v Nous supposerons dans ce chapitre que nous connaissons parfaitement l ? ensemble R des réels muni de ses deux lois et ? d ? addition et de multiplication Partant de là nous allons construire le corps C des nombres complexes c ? est-à-dire justi ?er qu ? un tel ensemble C existe sans contradiction avec toutes les propriétés que nous voulons lui donner Il ne su ?t pas de décréter qu ? un monde existe avec telle et telle propriétés pour qu ? il existe réellement encore faut-il qu ? il ne soit pas contradictoire ? Notre point de départ c ? est l ? ensemble R identi ?é géométriquement à un plan F BE muni d ? un repère orthonormal direct O ?? ? ?? ? Tout vecteur et tout point du plan sont ainsi identi ?és à leurs coordonnées dans ce repère On dé ?nit alors sur R deux lois de composition internes ? et ? de la façon suivante Pour tous x y x ?? y ?? ?? R x y ? x ?? y ?? x x ?? y y ?? et x y ? x ?? y ?? xx ?? ?? yy ?? xy ?? yx ?? Par dé ?nition l ? ensemble R muni de ces deux lois est noté C et ses éléments sont appelés nombres complexes ? Remarquons alors que pour tous x x ?? ?? R x ? x ?? x x ?? et x ? x ?? xx ?? Ces égalités montrent que l ? addition ? et le produit ? agissent sur les couples de la forme x comme l ? addition et le produit ? sur les réels Nous identi ?erons pour cette raison pour tout x ?? R le couple x et le réel x ?? cela veut dire que nous noterons désormais x le couple x Cette identi ?cation nous permet de considérer R comme une partie de C géométriquement comme l ? axe des abscisses du plan R A présent pour tout x x ?? ?? R x ? x ?? x ? x ?? x x ?? x x ?? et x ? x ?? x ? x ?? xx ?? x? x ?? Ces égalités montrent que les lois ? et ? généralisent à C les