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Mathematique analyse 01 logique

Calcul propositionnel Axiome On appelle axiome un principe indémontrable qui para? t incontestable Proposition On appelle proposition un énoncé dont la valeur de vérité peut être établie Forme propositionnelle Une forme propositionnelle à une variable est une expression contenant x et qui devient une proposition lorsqu ? on substitue à x un élément du référentiel Théorème Un théorème est une proposition démontrable qui découle d ? axiomes ou de propositions déjà établis Démonstration Une démonstration consiste à déduire une proposition à partir d ? autres propositions suivant certaines règles logiques de raisonnement Dé ?nition La dé ?nition est la délimitation précise d ? un concept dans un cadre plus général en utilisant d ? autres concepts Conjonction Deux propositions p et q peuvent être connectées par le mot et ? pour constituer une porposition composée Ce connecteur est appelé conjonction et son symbole est Disjonction Deux propositions p et q peuvent être connectées par le mot ou ? pour constituer une porposition composée Ce connecteur est appelé disjonction inclusive et son symbole est Le mot ou ? est employé avec le sens les deux cas peuvent se produire ? et on parle d ? une disjonction inclusive À ne pas confondre avec le sens employé p ou q mais pas les deux ? qui est une disjonction exclusive Donc est dé ?ni par une table de vérité et a toujours le sens de p ou et q ? Négation Toute proposition p dans laquelle on insére la location ne pas ? devient une autre proposition appelée négation de p Le symbole de la négation est qu ? on lit non p ? Tautologie et contradictions Certaines propositions ne contiennent que des V dans la dernière colonne de leur table de vérité i e qu ? elles sont vraies chaque fois qu ? une de leurs variables est vraie On dit qu ? il s ? agit de tautologies De même une proposition est une contradiction si elle est toujours fausse Principe de substitution Si est une tautologie alors est une tautologie quelques soient les propositions Équivalence logique Deux propositions équivalentes et on écrit sont dites logiquement équivalentes si elles ont des tables de vérités Implication conditionelle CL ? implication conditionnelle entre deux propositions p et q notée se lit p implique q ? ou p alors q ? Équivalence biconditionnelle L ? équivalence biconditionnelle entre deux propositions p et q notée se lit p est équivalente à q ? ou p si et seulement si q ? Tables de vérité Algèbre des propositions Indempotence Associativité Commutativité Distributivité Identité Complémentarité Involution Lois de Morgan Arguments Un argument est un énoncé dans lequel un ensemble de propositions appelées prémisses conduit par voie de conséquence à une propositions q appelée conclusion Un argument est représenté par Un argument est dit logique si q est vraie chaque fois que les prémisses sont vraies Un argument qui n ? est pas logique est un sophisme Théorème CL ? argument est logique ssi est une tautologie