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Polymaths2a 060109 Cours de Mathématiques E S P C I Deuxième année Elie Rapha? l Polycopié des élèves rédigé à partir du cours C Ce polycopié a été rédigé sous LATEX e par Julien Berthaud Cyrille Boullier Régis Schach et Antoine Vanhaverbeke élèves de la

Cours de Mathématiques E S P C I Deuxième année Elie Rapha? l Polycopié des élèves rédigé à partir du cours C Ce polycopié a été rédigé sous LATEX e par Julien Berthaud Cyrille Boullier Régis Schach et Antoine Vanhaverbeke élèves de la ème promotion et retouché par Sébastien Besson et Nicolas Champavert élèves de la ème promotion Sur la version électronique du document la table des matières renvoit directement par lien hypertexte aux parties correspondantes CTable des matières Les probabilités Eléments de théorie des ensembles Rappels Tribu Mesure positive sur une tribu Epreuves Evénements Mesure de probabilité Mesure de probabilité sur un ensemble ?ni Cas particulier probabilité uniforme ?ni ? ?n Suite d ? événements Mesure de probabilité uniforme sur une partie de R Probabilités conditionnelles Introduction Indépendance de deux événements Système complet d ? événements Formule des probabiltés totales et for- mule de Bayes Généralités sur les variables aléatoires Variable aléatoire réelle v a r Loi de probabilité d ? une v a r Fonction de répartition d ? une v a r Variables aléatoires réelles discrètes Dé ?nition Loi de probabilité d ? une v a r discrète Fonction d ? une v a r discrète Exemples de lois discrètes usuelles Fonction de répartition d ? une v a r discrète Espérance mathématique moments Couple de v a r discrètes Covariance et coe ?cient de corrélation linéaire Inégalité de Bienaymé - Tchebitchev Fonctions génératrices Variables aléatoires réelles absolument continues a c Dé ?nition Espérance variance Couple de v a r absolument continu C TABLE DES MATIÈRES Fonctions caractéristiques Suite de variables aléatoires Introduction - théorème de Moivre-Laplace Convergence en loi - théorème central limit ? Calcul des variations Préliminaire Multiplicateurs de Lagrange Equation d ? Euler-Lagrange Introduction Formulation générale du problème Cas particuliers Variations contraintes Extrémité libre Mécanique classique et principe de moindre action ? Equations aux dérivées partielles Qu ? est-ce qu ? une EDP Généralités sur les EDP EDP linéaires du er ordre Classi ?cation des EDP linéaires du nd ordre à coe ?cients constants Conditions aux frontières et problème bien posé Equation des ondes Equation de di ?usion Equation de di ?usion sur l ? ensemble de la droite R Equation de di ?usion avec un terme source Solution élémentaire fonction de Green de l ? opérateur de di ?usion Solution fondamentale de l ? opérateur de di ?usion Equation de di ?usion sur R ? Equation de di ?usion sur un domaine spatial borné Solution fondamentale de l ? opérateur de Helmholtz dans R Espace fonctionnel CChapitre Les probabilités Eléments de théorie des ensembles Rappels Dé ?nition Soit E un ensemble On note ? E l ? ensemble des parties de E c ? est-à-dire A ?? ? E ? ?? A ? E L ? ensemble E est une collection d ? objets qui sont les éléments de E ou les points de E Remarques ?? E ?? ? E ?? ? ?? ? E ?? w ?? E ?? le singleton