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Pour bien demarrer l x27 annee math cycle prepa

Pour bien démarrer l ? année Ce chapitre a un statut un peu particulier par rapport à tous ceux qui vont suivre nous allons y étudier les bases de la logique mathématique et y dé ?nir quelques notions élémentaires que nous utiliserons toute l ? année Ne paniquez pas si vous n ? aimez pas ce chapitre les chapitres suivants ressembleront davantage aux chapitres que l ? on vous a enseignés au lycée Un peu de logique Convenons d ? appeler proposition toute phrase p au sujet de laquelle on peut poser la question p est-elle vraie La plupart des phrases grammaticalement correctes sont des propositions mais par exemple Dis-le-moi ? Bonjour ? ou Comment vas-tu ? n ? en sont pas la question Est-il vrai que bonjour ? n ? a aucun sens La valeur de vérité d ? une proposition est soit le vrai V soit le faux F Deux propositions qui ont la même valeur de vérité sont dites équivalentes cela veut dire qu ? elles sont soit toutes les deux vraies soit toutes les deux fausses Cette notion est très importante quand vous devez démontrer une proposition p vous n ? êtes pas obligé de démontrer p elle-même il su ?t que vous démontriez n ? importe quelle proposition q équivalente à p Exemple Socrate n ? est pas immortel ? et Socrate est mortel ? sont deux propositions équivalentes démontrer l ? une revient donc à démontrer l ? autre Connecteurs logiques On appelle connecteur logique tout moyen de construire une proposition unique à partir d ? une ou plusieurs propositions Par exemple et ? ou ? si alors ? et parce que ? sont des connecteurs à partir des propositions J ? ai faim ? et J ? ai soif ? on peut construire une nouvelle proposition J ? ai faim et j ? ai soif ? Un connecteur logique est dit vérifonctionnel si la valeur de vérité d ? une proposition construite à l ? aide de ce connecteur dépend seulement de la valeur de vérité des propositions utilisées dans la construction Ainsi la proposition p et q ? est vraie si et seulement si les deux propositions p et q sont vraies Peu importe le contenu exact de p et q seule leur vérité compte En mathématiques tous les connecteurs logiques sont vérifonctionnels L ? intérêt des connecteurs vérifonctionnels réside dans la facilité avec laquelle on peut les dé ?nir Par exemple pour dé ?nir le connecteur et ? il su ?t de décrire en fonction de la valeur de vérité de p et q la valeur de vérité de la proposition p et q ? par dé ?nition p et q ? est vraie si p et q le sont et fausse dans tous les autres cas Par souci de clarté on présente généralement cette dé ?nition sous forme d ? un tableau appelé une table de vérité p q p et q VV V VF F FV F FF F