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Probasensai magalie ENSAI Première année IES Statistique Probabilités générales - Probabilités générales Magalie Fromont Références ?? Calcul des probabilités D Foata et A Fuchs ?? Probability and random processes G Grimmett and D Stirzaker ?? Cours et ex

ENSAI Première année IES Statistique Probabilités générales - Probabilités générales Magalie Fromont Références ?? Calcul des probabilités D Foata et A Fuchs ?? Probability and random processes G Grimmett and D Stirzaker ?? Cours et exercices de probabilités appliquées M Lefebvre ?? Probabilités analyse des données et statistique G Saporta ?? Théorie des probabilités en vue des applications statistiques P Tassi et S Legait ?? Cours de probabilités A Monfort Introduction - rappels Introduction Les probabilités à l ? ENSAI pourquoi Dé ?nitions - Notations rappels ?? univers des possibles ou ensemble fondamental épreuves ? ?? tribu A sur événements mesure de probabilité P sur A probabilité d ? un événement A de A P A ?? expérience aléatoire modélisée par un espace de probabilité A P pas nécessairement unique dépend des hypothèses faites sur l ? expérience ou permet d ? en poser Exemples Les grands classiques du pile ou face du lancé de dé des boules dans une urne Expériences aléatoires plus complexes sondages études de ?abilité durées de vie ?? Nécessité d ? introduire la notion de variable aléatoire Variables aléatoires réelles On considère une expérience aléatoire modélisée par un espace de probabilité A P Dé ?nitions - premiers exemples Dé ?nition Variable aléatoire réelle On appelle variable aléatoire réelle v a r toute application X A P ? R B R telle que pour tout borélien B de R B ?? B R l ? ensemble X ?? B ? ?? X ? ?? B appartient à A Propriétés immédiates Une variable aléatoire réelle est une application A P ? R B R telle que pour tout réel b X ?? ?? ? b ?? A Les propriétés algébriques usuelles ainsi que la composition par une fonction réelle mesurable conservent la notion de va ??riable aléatoire ainsi si X et Y sont deux variables aléatoires réelles ? un nombre réel ?X X Y XY X X X Xn eX sont des variables aléatoires réelles Notation Si X A P ? R B R est une variable aléatoire réelle l ? ensemble X ?? B ? ?? X ? ?? B est un événement généralement noté X ?? B et dont la probabilité notée P X ?? B se lit probabilité que X soit dans B L ? ensemble B peut prendre diverses formes et on écrit par exemple P X b au lieu de P X ?? b P X ? b au lieu de P X ?? ?? ? b Ces probabilités sont lues probabilité que X soit égal à b probabilité que X soit inférieur ou égal à b Si X X A P ? R B R sont deux variables aléatoires réelles la probabilité P X ?? ?? ? b ??X ?? ?? ? b est notée P X ? b X ? b et lue probabilité que X soit inférieur ou égal à b et que X soit inférieur ou égal à b Exemples Exemples liés aux expériences aléatoires ci-dessus Exemple de