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Raisonnement par recurrence exercice corrige pdf

Raisonnement par récurrence Exercice corrigé Introduction Imageons le principe du raisonnement par récurrence par la chute d ? une suite de dominos deux à deux régulièrement espacés Si un premier domino tombe alors le domino suivant tombera et par propagation en cha? ne tous les dominos suivants tomberont Le raisonnement par récurrence comporte deux phases successives prouver qu ? un premier domino tombe initialisation établir que si le domino tombe alors le domino suivant c ? est-à-dire le domino tombera hérédité Rappel Principe du raisonnement par récurrence Soit une proposition dé ?nie sur un intervalle de Soit Si Une proposition est un énoncé soit vrai soit faux la proposition est initialisée à un certain rang c ? est-à-dire si est vraie au rang la proposition est héréditaire à partir du rang c ? est-à-dire si pour tout tel que on a l ? implication Alors La proposition est vraie à partir de tout rang plus grand que On véri ?e que est vraie rang ère étape Initialisation On suppose que On véri ?e alors que est vraie est vraie On conclut que pour tout entier naturel est vraie rang rang ème étape Hérédité ème étape Conclusion Raisonnement par récurrence ?? Exercice corrigé ? SOS DEVOIRS CORRIGES marque déposée CExercice question Démontrer que pour tout entier naturel non nul Niveau facile Correction de l ? exercice Soit la proposition dé ?nie sur par On peut simpli ?er l ? écriture de l ? expression à l ? aide du symbole ? ? Démontrons par récurrence que la proposition est vraie pour tout entier naturel non nul Initialisation D ? une part on a D ? autre part on a Ainsi on a Donc est vraie c ? est-à-dire que la proposition est initialisée au rang Hérédité Montrons que pour tout que si est vraie alors C ? est-à-dire supposons vraie au rang et montrons est vraie Nous voulons donc aboutir à l ? égalité suivante Raisonnement par récurrence ?? Exercice corrigé ? SOS DEVOIRS CORRIGES marque déposée CSupposons vraie c ? est-à-dire supposons que Au rang on a Posons le discriminant du trinôme du second degré d ? inconnue telles que Comme le trinôme est factorisable et admet deux racines réelles distinctes et ?? ?? Par ailleurs Ainsi est factorisable et on a On a donc bien vraie On vient donc de montrer que pour tout si alors est vraie au rang Autrement dit la proposition est héréditaire est vraie au rang Conclusion On vient d ? établir que est vraie et que pour tout Autrement dit on vient de montrer que la proposition est initialisée au rang et est héréditaire donc d ? après le principe du raisonnement par récurrence la proposition est vraie pour tout entier naturel non nul En dé ?nitive quel que soit on a par conséquent Raisonnement par récurrence ?? Exercice corrigé ? SOS DEVOIRS CORRIGES marque déposée C