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Slides École Supérieure des Sciences Appliquées d ? Alger Cours d ? Algèbre Logique mathématique Dr Khaled MAAFA décembre CTypes de raisonnements mathématiques Raisonnement par l ? absurde Pour montrer qu ? une proposition P est vraie on suppose P et on m

École Supérieure des Sciences Appliquées d ? Alger Cours d ? Algèbre Logique mathématique Dr Khaled MAAFA décembre CTypes de raisonnements mathématiques Raisonnement par l ? absurde Pour montrer qu ? une proposition P est vraie on suppose P et on montre qu ? on obtient alors une contradiction Example montrons que ??x ?? ? sin x cos x Supposons par l ? absurde que ??x ?? ? sin x cos x Comme x ?? ? alors sin x et cos x par suite sinx cos x ?? sin x cos x ?? sin x cos x sin x cos x ?? sin x cos x ?? sin x cos x ?? sin x cos x Contradiction avec sin x et cos x CTypes de raisonnements mathématiques Raisonnement par contre-exemple On l ? utilise pour montrer que la proposition quanti ?ée ??x ?? E P x est fausse Pour cela il suf ?t de trouver un élément x ?? E tel que P x est fausse Example Considérons l ? af ?rmation ??n ?? N ? n ?? est premier ou n est premier Cette af ?rmation est fausse car on peut trouver n ?? N ? tel que ni n ?? ni n n ? est premier n CTypes de raisonnements mathématiques Raisonnement par récurrence récurrence simple Soit P n une propriété dépendant de l ? entier naturel n et n ?? N Pour montrer que P n est vraie pour tout entier n n On véri ?e que P n est vraie On montre que P n ?? P n CTypes de raisonnements mathématiques Example Montrons que ??n ?? N n n est divisible par Soit p n n n est divisible par On a p est vraie car est divisible par Supposons P n vraie i e n n est divisible par On alors n n k k ?? N Par suite n n k n n k n n k ?? n n k ?? d ? o? P n est vraie On a donc ??n ?? N n n est divisible par CTypes de raisonnements mathématiques Raisonnement par récurrence récurrence multiple Soit p n une propriété dépendant de l ? entier naturel n n ?? N et q ?? N ? Pour montrer que p n est vraie pour tout entier n n On véri ?e que p n p n p n q ?? sont vraies On montre que p n ?? p n ?? p n q ?? ?? P n q C ? est une récurrence d ? ordre q CTypes de raisonnements mathématiques Example Considérons la suite numérique un dé ?nie par u u et la relation ??n ?? N Un ? Un ?? ? Un Montrons que ??n ?? N Un n On a u et u donc p et p sont vraies Montrons que p n ?? p n ?? P n Supposons que Un n et Un n On a alors Un ? Un ?? ? Un n