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Statistique 6 varac 437 pdf

Chapitre Variable aléatoire réelle absolument continueDé ?nition et exemple d ? un variable aléatoire réelle absolument continue Dé ?nition Toute variable aléatoire réelle dont la fonction de répartition est continue sur R et dérivable sauf éventuellement sur un nombre ?ni de points est appelée variable aléatoire réelle absolument continue Exemple Soit X une variable aléatoire réelle dont la fonction de répartition est la suivante F est continue sur R et dérivable sur X est donc une variable réelle aléatoire absolument continue La densité de probabilité d ? une variable aléatoire réelle absolument continue est la fonction f dérivée de la fonction de répartition F Une variable aléatoire réelle absolument continue est aussi appelée variable aléatoire à densité Exemple Remarque Etant donné la fonction de répartition F d ? une variable aléatoire réelle absolument continue sa densité de probabilité f est obtenue par dérivation ? représente un nombre ?ni de points o? F n ? est pas dérivable Etant donné la densité de probabilité d ? une variable aléatoire réelle absolument continue sa fonction de répartition est la primitive de f telle que La fonction de répartition F étant croissante www academie-gestion com ? Tous droits réservés CLa densité de probabilité d ? une variable aléatoire réelle absolument continue véri ?e Théorème Pour toute fonction les conditions d ? application des densités de probabilité sont les suivantes Ces deux conditions sont les conditions d ? application des densités de probabilité Proposition Soit X une variable aléatoire réelle absolument continue et F sa densité de probabilité alors Preuve Corollaire Soit X une variable aléatoire réelle absolument continue alors Preuve Or F est continue car www academie-gestion com ? Tous droits réservés CCorollaire Moments d ? une variable aléatoire absolument continue Dé ?nition Espérance mathématique Soit X une variable aléatoire absolument continue et soit f sa densité de probabilité on appelle espérance mathématique de X et on note E X la quantité suivante si elle existe Propositions Soit X une VARAC et soit alors On doit cette proposition à La probabilité de linéarité de l ? espérance La constance de l ? espérance Moments simples d ? ordre k Soit X une VARAC on appelle moment simple d ? ordre k de X l ? espérance mathématique de si elle existe Variance et écart type Dé ?nition Soit X une VARAC on appelle variance de X Remarque Proposition Soit X une VARAC on a www academie-gestion com ? Tous droits réservés CPreuve Propositions ?? Soit X une VARAC et soient alors Ecart type On appelle écart type d ? une VARAC la quantité suivante si elle existe Inégalité de Markov et de Bienaymé-Tchebytchev Inégalité de Markov Théorème Soit X une VARAC non négative avec alors Inégalité de Bienaymé-Tchebytchev Soit X une VARAC admettant une espérance mathématique et une variance telle que on a et www academie-gestion com ? Tous droits réservés C