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Ts cours recurrence TS Raisonnement par récurrence Une histoire de plomberie Imaginons un immeuble mathématique très vétuste dans lequel il peut y avoir des problèmes de fuite d ? eau Cet immeuble a un nombre in ?ni d ? appartements situés les uns endesso

TS Raisonnement par récurrence Une histoire de plomberie Imaginons un immeuble mathématique très vétuste dans lequel il peut y avoir des problèmes de fuite d ? eau Cet immeuble a un nombre in ?ni d ? appartements situés les uns endessous des autres et l ? appartement le plus en haut a pour étage L ? immeuble est tellement vétuste que les parois séparant deux appartements successifs sont poreuses et si un appartement a une fuite d ? eau alors celui d ? en-dessous aussi la fuite se répercute à l ? appartement de dessous Appelons cette propriété la porosité On se demande si tous les appartements ont une fuite d ? eau n n Notons pour n ?? N Pn la propriété l ? appartement de l ? étage n a une fuite d ? eau On sait que si un appartement n quelconque a une fuite d ? eau alors par porosité l ? appartement n a aussi une fuite d ? eau mais attention rien ne nous permet d ? af ?rmer que l ? appartement n a e ?ectivement une fuite d ? eau c ? est juste que si c ? est le cas alors l ? appartement n d ? en-dessous aura aussi une fuite d ? eau On dit que la propriété Pn est héréditaire la réalisation de Pn entraine la réalisation de Pn c ? est-à-dire ??n ?? N Pn ?? Pn Regardons maintenant l ? appartement On envoie un plombier dans l ? appartement et il constate malheur qu ? il y a e ?ectivement une fuite d ? eau Autrement dit P est vraie on dit que la récurrence est initialisée Concluons L ? appartement a une fuite d ? eau P est vraie Donc par hérédité l ? appartement aussi P est vraie Donc l ? appartement aussi P est vraie etc Au ?nal tous les appartements ont une fuite d ? eau ??n ?? N Pn est vraie C ? est ça le principe de récurrence exemple à méditer longuement maths muller gmail com RÉCURRENCE C Principe de récurrence Le raisonnement par récurrence est un nouveau type de raisonnement qui est très puissant pour démontrer des propriétés qui portent sur des nombres entiers naturels En e ?et l ? ensemble N des entiers naturels a trois propriétés fondamentales axiomes de Peano N admet un plus petit élément Tout entier n ?? N admet un unique successeur n Si un ensemble contient et les successeurs de chacun de ses éléments alors cet ensemble est N Ces propriétés permettent d ? obtenir tous les entiers naturels On part de le plus petit entier a un successeur a un successeur a un successeur etc à partir de chaque entier n trouvé on peut construire le suivant n a un successeur n En répétant cette opération indé ?niment on obtient tous les entiers Le principe de récurrence est basé sur cette idée Propriété Principe de récurrence On cherche à démontrer que pour