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Combinaisons avec repetitions deduccion por aplicaciones

Combinaisons avec r ?ep ?etition Cette notion ne ?gure pas dans les programmes o ?ciels des classes de Lyc ?ee mais elle m ?erite d ? etre connue car elle peut intervenir dans une interrogation orale aussi bien que dans un probleme d ? ?ecrit Dans la note qui suit on va s ? attachera d ?e ?nir rigoureusement une telle combinaison et a proposer quelques d ?emonstrations de th ?eoremes qui permettent de mettre l ? ensemble des combinaisons avec r ?ep ?etition cap en abr ?eg ?e en bijection avec des ensembles qui interviennent souvent dans le domaine du d ?enombrement on parle de combinatoire et qui sont assez faciles a d ?enombrer Avant de donner une d ?e ?nition il est bon de se familiariser avec la notion empirique de combinaison avec r ?ep ?etition Si E d ?esigne un ensemble ?ni d ? objets disons de cardinal n ?? N ? et si k est un entier naturel il est possible de choisir k ?el ?ements de E en acceptant de r ?ep ?eter certains ?el ?ements plusieurs fois Par exemple si E D H ouD et H repr ?esentent la droite ? et le haut ? dans un d ?eplacement plan qui n ? admet que ces deux orientations il est possible de d ?e ?nir un -d ?eplacement qui sera cod ?e D D D H H ou encore D H D H D et qui consistea se d ?eplacer d ? une distance convenue trois fois vers la droite et deux fois vers le haut l ? ordre des d ?eplacements n ? ayant pas d ? importance Un tel d ?eplacement est appel ?e une combinaison avec r ?ep ?etition des ?el ?ements de E Notez que la notation choisie n ? est pas sans ?equivoque En e ?et en math ?ematique usuellement la notation entre accolades est r ?eserv ?ee a la notation d ? un ensemble d ?efni en extension Mais alors tous les ?el ?ements qui ?guent entre les accolades sont distincts deuxa deux ce n ? est pas la convention qui a ?et ?e adopt ?ee ici D ?e ?nition Soit n ?? N ? E un ensemble de cardinal n et k ?? N On appelle k- cteolmlebqinuaeisX on avec f x r ?ep ?etition k d ? ?el ?ements de E toute application f de E dans k x ??E Remarque la valeur f x est le nombre de fois ou l ? ?el ?ement x de E est r ?ep ?et ?e dans la combinaison On dit aussi parfois que f est une combinaison des n ?el ?ements de E pris k a k Si on revient a l ? exemple introductif l ? application f de D H dans qui est ?egalea la -combinaison avec r ?ep ?etition compos ?ee de trois d ?eplacements vers la droite et de deux d ?eplacements vers le haut est d ?e ?nie par f D et f