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Devoir surveille n 2 Lycée Jules Ferry PTSI Devoir surveillé no ?? Mathématiques Le temps imparti pour ce devoir est de heures Tout document ou matériel électronique est interdit La présentation des copies et la qualité de la rédaction seront largement pr

Lycée Jules Ferry PTSI Devoir surveillé no ?? Mathématiques Le temps imparti pour ce devoir est de heures Tout document ou matériel électronique est interdit La présentation des copies et la qualité de la rédaction seront largement prises en compte dans l ? évaluation en particulier vous êtes invités à mettre en évidence vos résultats en les encadrant clairement Sauf mention contraire explicite toutes vos réponses doivent être soigneusement justi ?ées sans quoi elles ne seront pas prises en compte Si vous pensez repérer une erreur d ? énoncé vous devez le signaler sur votre copie et poursuivre votre composition Si vous ne parvenez pas à résoudre une question vous pouvez admettre le résultat demandé et l ? utiliser si besoin dans toute question ultérieure du même exercice Le devoir est constitué de exercices indépendants L ? énoncé comporte pages Exercice Les questions de cet exercice sont indépendantes Rappeler la dé ?nition de ab lorsque a b sont deux réels pas forcément entiers en précisant pour quels réels elle est valable puis donner l ? ensemble de dé ?nition et la dérivée de la fonction f dé ?nie par f x ?? x x Soit z ei ? ?? ei ? Déterminer le module et un argument de z Déterminer toutes les solutions dé ?nies sur R et à valeurs réelles de l ? équation di ?érentielle E suivante o? y est la fonction inconnue et t est la variable y ?? ?? t ?? y ?? t y t t E Exercice Le but de l ? exercice est de montrer que pour tout nombre complexe z de module ?? z z ?? z I et d ? étudier le cas d ? égalité dans l ? inégalité de gauche ci-dessus Les deux parties ci-dessous sont indépendantes et proposent chacune une méthode pour résoudre ce problème en particulier chaque question de la partie II doit être résolue sans utiliser les résultats de la partie I Partie I - Résolution sous forme algébrique Soit z a ib un nombre complexe tel que z Exprimer z en fonction de a et b puis montrer que z ?? a Montrer que z ?? z a ?? a ib puis que z ?? z a ?? Étudier sur ?? les variations de la fonction ?? f t ?? ? t t ?? on pourra e ?ectuer l ? étude séparément sur ?? et On précisera notamment les valeurs maximales et minimales atteintes par f sur ?? En déduire que la double inégalité I est toujours vraie et donner une condition nécessaire et su ?sante sur a pour qu ? il y ait égalité dans l ? inégalité de gauche ?? Déterminer en ?n les nombres complexes z de module tels que z z ?? z Partie II - Résolution sous forme trigonométrique Soit z un nombre complexe de module et l ? argument principal de z En justi ?ant votre réponse déterminer le signe de cos puis montrer en factorisant ei que z