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Ens maths ii mp 2006 EPREUVE ECRITE DE MATHEMATIQUES MPI ENS PARIS ?? LYON ?? CACHAN Coe ?cients PARIS MP ?? LYON - CACHAN MEMBRES DE JURY V BONNAILLIE-NOEL E GRENIER A GRIGIS G MIERMONT J -C SIKORAV Ce sujet est consacré à la caractérisation des espaces

EPREUVE ECRITE DE MATHEMATIQUES MPI ENS PARIS ?? LYON ?? CACHAN Coe ?cients PARIS MP ?? LYON - CACHAN MEMBRES DE JURY V BONNAILLIE-NOEL E GRENIER A GRIGIS G MIERMONT J -C SIKORAV Ce sujet est consacré à la caractérisation des espaces de H? lder de fonctions sur la droite par la transformation de Fourier en utilisant la décomposition dyadique de Littlewood-Paley La première partie est consacrée à cette décomposition et à ses propriétés Les trois premières questions étaient simples mais nécessitaient une certaine ma? trise technique La plupart des candidats ont vu comment les résoudre toutefois peu ont su les rédiger de façon claire précise et concise La rédaction de a s ? étale souvent sur d ? interminables pages tout en omettant quelques étapes Les questions b et c sont déjà sélectives Il était possible de montrer très simplement dans b que les fonctions construites sont in ?niment dérivables en utilisant les propriétés du quotient de deux fonctions mais cela a été vu par très peu de candidats Beaucoup ont éludé le problème d ? autres se sont relancés dans de très lourds calculs de dérivées Pour c qui a été traité correctement par moins d ? un quart des copies il su ?sait de voir que était partout la somme d ? au plus deux termes strictement positifs et donc que le minimum cherché était ? atteint en certains points Les questions et sont presque du cours dérivation sous le signe intégral Fubini Il est important que les candidats rédigent de telles questions de façon précise et concise en même temps Rappeler le théorème ou clairement présenter ses diverses hypothèses est la meilleure méthode Cela peut se faire rapidement et ne devrait pas prendre des pages et ce sans oublier d ? argument Pour peu de candidats pensent à intégrer par parties et beaucoup oublient certaines parties de la question en particulier l ? indépendance de l ? intégrale par rapport à q La question est un doublon d ? une partie de la question Il n ? est donc pas nécessaire de tout réécrire en détail mais il faut montrer qu ? on domine la question en justi ?ant le résultat La question n ? a été résolue que par un petit nombre de candidats Beaucoup oublient de montrer que C est indépendant de q et pour le deuxième point très peu de candidats voient qu ? il faut estimer l ? intégrant en fonction du support pour sortir les à la puissance La complétude des espaces de H? lder en pose problème et est prouvée dans moins d ? une copie sur trois Beaucoup de candidats ont déjà vu cette démonstration classique mais ils sont incapables de la refaire correctement La suite de la question de a bien que sans di ?cultés particulières est traitée dans moins d ? une copie sur trois Seules les meilleures copies dépassent et parfois abordent la partie En conclusion le problème permettait de mettre en valeur les qualités d