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Ensembles et applications c Laurent Garcin MPSI Lycée Saint-Exupéry ENSEMBLES ET APPLICATIONS Applications dé ?nitions ensemblistes Dé ?nition Application ensembles de départ et d ? arrivée graphe On appelle application tout triplet f E F ? constitué d ?

c Laurent Garcin MPSI Lycée Saint-Exupéry ENSEMBLES ET APPLICATIONS Applications dé ?nitions ensemblistes Dé ?nition Application ensembles de départ et d ? arrivée graphe On appelle application tout triplet f E F ? constitué d ? un ensemble E appelé ensemble de départ d ? un ensemble F appelé ensemble d ? arrivée et d ? une partie ? de E ? F telle que ??x ?? E ?? y ?? F x y ?? ? La proposition x y ?? ? ? qui signi ?e que le couple x y appartient au graphe de f se note plus habituellement y f x ? On dit alors que y est l ? image de x par f et que x est un antécédent de y par f Plutôt que de dé ?nir une application par son graphe on préfère noter f E ?F x ? f x ou encore plus simplement f x ? f x s ? il n ? y a pas d ? ambigu? té sur les espaces de départ et d ? arrivée L ? ensemble des éléments de F qui sont images d ? éléments de E par f i e qui ont un antécédent par f est appelé l ? image de f notée Im f Plus formellement Im f y ?? F ??x ?? E y f x f x x ?? E Remarque Une application n ? a pas toujours comme ensembles d ? arrivée et de départ des ensembles de réels ou même de nombres On pourrait par exemple considérer E l ? ensemble des élèves de la classe F l ? ensemble des entiers naturels et f l ? application de E dans F qui à un élève associe son ? ge Remarque Un élément de E a toujours une image par f Un élément de F n ? a pas toujours un antécédent par f Un élément de F peut avoir plusieurs antécédents par f Exemple Considérons la fonction carrée f R x ?? ? ?? ? R x Soit y ?? F Si y y n ? a pas d ? antécédent par f Si y y a deux antécédents par f ??y et ?? ??y Si y y a un seul antécédent par f lui-même L ? image de f est R Di ?érence entre application et fonction Bien que le programme o ?ciel stipule de ne pas faire de di ?érence entre applications et fonctions il existe néanmoins une nuance Une application est toujours dé ?nie sur son ensemble de départ ce qui n ? est pas le cas d ? une fonction Par exemple R ?? ? ??R x ?? ? x est une fonction mais pas une application En revanche R ?? ? R ?? x ?? ? x est bien une application Si f E ? F est une fonction on appelle ensemble de dé ?nition de f l ? ensemble des x ?? E tels que f x est dé ?ni On