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l1 devoirmaison 1 corrige

UNIVERSITE PAUL SABATIER Y j Y L - PCP - CORRIGÉ DEVOIR MAISON Y j Y Exercice Montrer que l ? ensemble E f R ? R ?? a ?? R ??x ?? R f x a cos x ?? est un R-espace vectoriel Solution On notera pour a ?? R fa x a cos x ?? E est inclu dans le R-espace vectoriel F R R des applications de R dans R il est donc su ?sant de montrer que E est un sous-espace vectoriel de F R R On va en fait montrer que E vect sin cos ce que l ? on pouvait rapidement soupçonner puisque f x cos x et f ?? ? x sin x sont dans E et a cos x ?? a cos x cos a sin x sin ?? vect sin cos comme on va le voir plus bas c ? est la stabilité par addition qui est délicate ?? f ?? la fonction nulle est donc dans E ?? Soient fa fb ?? E deux vecteurs de E et ? ?? R il s ? agit de montrer que fa ?fb ?? E et ce n ? est pas si simple on peut écrire pour x ?? R fa x ?fb x a cos x ?? ?b cos x ?? a cos x cos a sin x sin ? b cos x cos b sin x sin a cos ?b cos cos x a sin ?b sin sin x A cos x B sin x o? A a cos ?b cos B a sin ?b sin On a A B ? ?? A ou B soit fa x ?fb x Acos x fA x ?? E soit fa x ?fb x B sin x B cos x ? fB ?? ? x ?? E On peut donc supposer que A B dans ce cas écrivons fa x ?fb x A B ?? A cos x ?? B sin x A B A B ?? ?? et l ??e vecteur A A B ?? B A B est de norme il est donc sur le cercle unité i e il existe ? ?? ? tel que A A B cos ? B A B sin ? si bien que l ? on peut écrire fa x ?fb x A B cos ? cos x sin ? sin x A B cos x ?? ? soit fa ?fb f ??A B ? ?? E CQFD E est donc un espace vectoriel et vu la remarque faire en cours de redaction c ? est l ? espace vectoriel de dimension engendré par x ? sin x et x ? cos x Exercice Dans R comparer les sous-espaces F et G suivants F Vect ?? ?? ?? ?? ?? ?? G Vect ?? ?? ?? Solution F est un sous-espace de R admettant une famille génératrice constituée de vecteurs u v ?? ?? ?? w ?? ?? ?? étudions la liberté de ces vecteurs u