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Devoir 76 Universit ?e Mohammed V Facult ?e des Sciences D ?epartement de Physique Master Physique Informatique Ann ?ee Universitaire - Systemes dynamiques systemes complexes Devoir Exercice On consid ?ere l ? ?equation di ? ?erentielle dx dt f x qui d ?e

Universit ?e Mohammed V Facult ?e des Sciences D ?epartement de Physique Master Physique Informatique Ann ?ee Universitaire - Systemes dynamiques systemes complexes Devoir Exercice On consid ?ere l ? ?equation di ? ?erentielle dx dt f x qui d ?ecrit l ? ?evolution d ? un syst eme dynamique - Exprimez l ? ?el ?ement de volume ?V en fonction des variations ? i dxi - En faisant un d ?eveloppement de f x au premier ordre montrer que la variation de l ? ?el ?ement de volume ?V en fonction du temps est donn ?ee par d ?V ?V divf x dt - On note par ?i l ? ensemble des valeurs propres de la matrice jacobi ?ene J ? f f fn ? x x xn Montrer que si T rJ le syst eme est dissipatif - Etablir la condition pour avoir Un point ?xe stable Un cycle limite un attracteur chaotique - Retrouver le th ?ehor eme de Liouville qui exrprime la conservation du volume de l ? espace des phases dans un syst eme hamiltonien Exercice Calcul de p ?eriode dans les systemes oscillatoires On considere un systeme conservatifa une dimension gouvern ?e par l ? ?equation d x dt ?? ? V ? x ouV x est l ? ?energie potentielle du systeme - Montrer que l ? ?energie totale E du syst eme est conserv ?ee - Montrer que la periode est donn ?ee par xt T dx ??xt E ?? V x ou xt sont les points dits tournants qui sont solutions de l ? ?equation V xt E - ? ? ? On consid ere le cas ou V x V x En utilisant le changement de variable U x E Cmontrer que T ?? E ?? Que peut-on conclure - On consid ere l ? oscillateur de Du ?ng dont le potentiel est donn ?e par V x x x ou i- D ?eterminer les points tournants solutions de l ? ?equation V xt E ii- Montrer que la p ?eriode du systeme est donn ?ee par xt T ??xt d x t sin En faisant un d ?eveloppement au premier ordre d ?eduire que T ? ?? E - On souhaite d ?eterminer la p ?eriode de l ? oscillateur de Du ?ng par la m ?ethode de Poincar ?eLindstedt i- Montrer que l ? ?equation de l ? oscillateur est d dt x ?? x ii- Vue que on cherchera des solutions de la forme x x x x Montrer que la solution du probleme se r ?eduit au premier ordrea r ?esoudre le syst eme d ? ?equation d dt x d dt x ??x iii- En posant ? ? montrer que le probleme se r ?eduita d d x d d x ??x ? x ou ?t iv- On prend comme conditions initiales x t A et dx dt t Montrer que l ? ?equation du syst ? eme devient d d x ? ?? A