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Df2020mnsa Analyse numériques des EDP MNSA S Pr A RADID Université Hassan II Faculté des Sciences A? n Chock Département de Mathématiques et Informatique Année universitaire - CTable des matières Introduction Di érences ? nies Préliminaires et dé ? nition

Analyse numériques des EDP MNSA S Pr A RADID Université Hassan II Faculté des Sciences A? n Chock Département de Mathématiques et Informatique Année universitaire - CTable des matières Introduction Di érences ? nies Préliminaires et dé ? nitions Introduction Résolution numérique des problèmes physiques Dé ? nition d ? une EDP Ordre de l ? EDP EDP linéaire ou non linéaire Les di érents types d ? équations aux dérivées partielles Problème aux limites Problème bien posé Les principales méthodes de discrétisation d ? EDP Les méthodes de di érences ? nies Présentation de la méthode Maillage Formules d ? approximation de dérivées par di érences divisées en dimension Stencil d ? un schéma Schéma à multipas L ? ordre d ? un schéma Discrétisation des conditions aux limites Consistance Stabilité et Convergence Erreur de Troncature Consistance Stabilité Convergence Equation de Laplace D Equation de la chaleur D Schéma explicite de l ? équation de la chaleur D Schéma implicite de l ? équation de la chaleur C Approximation par di érences ? nies de l ? équation de la chaleur en D CChapitre Di érences ? nies Préliminaires et dé ? nitions Introduction Les équations aux dérivées partielles EDP interviennent dans la description de très nombreux problèmes de physique chimie sciences de la Terre biologie mécanique des ??uides propagation des ondes électromagnétisme phénomènes de di usion Résolution numérique des problèmes physiques Grandes étapes Problème physique continu est décrit par un modèle mathématique continue mis en équations Modèle mathématique continu est discretisé en s ? appuyant sur une des méthode s numérique s Equations discretisées sont approximées à l ? aide des schémas numériques appropriés l ? algorithme de résolution est établie Algorithme est codé Matlab Gnuplot FreeFem Si tout va bien la solution approchée du problème initial est obtenue C Dé ? nition d ? une EDP Une équation aux dérivées partielles est une équation faisant intervenir une fonction inconnue de plusieurs variables u x xd ainsi que certaines de ses dérivées partielles F x u D uj j p Dans les applications à la physique on distingue les problèmes stationnaires o? les variables sont des variables d ? espaces x Rd u x RN des problèmes d ? évolution o? l ? une des variables est le temps qui joue un rôle particulier x Rd t u x t RN Quelques exemples Équation de la chaleur ?? Equation u x t t de la chaleur D u x t x f x monodimensionnelle t x L t uu x t u x u L t x L conditions initiales t conditions aux limites D coe cient de di usion thermique ?? En dimension supérieure d u x t t u x t f x t x t uu xx t u x u P u i d xi x x t ouvert borné de bord Equation des ondes ?? En du tix m t ensci o n ux x t f x t uu x t u