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AVRIL CONCOURS INGÉNIEURS DES TRAVAUX STATISTIQUES ITS Voie B Option Économie CORRIGÉ DE MATHÉMATIQUES Exercice Partie Le tableau de variation de g n ? est pas fait ici Mais on montre que la fonction g est décroissante sur R- et croissante sur R en étudiant la dérivée de la fonction g On montre également que la limite en ? et en ? est ? et que g En examinant le comportement de g x x en ? on constate que la courbe de g admet une branche parabolique d ? axe Oy En examinant le comportement de g x x en ? on constate que la courbe de g admet la droite d ? équation y -x pour asymptote oblique La question précédente montre que la fonction g est continue et strictement monotone sur R- On a donc une bijection de R- sur l ? intervalle ? Comme par hypothèse n est supérieur ou égal à l ? équation En admet une unique solution strictement négative notée rn Un raisonnement analogue sur R conclut que l ? équation En admet une unique solution strictement positive notée t n Partie Dans cette partie on note un n appartenant à l ? ensemble des entiers naturels la suite ainsi dé ?nie u pour k ? uk euk Pour montrer que ? r ? il su ?t de montrer que g - est strictement inférieur à et que g - est strictement supérieur à et utiliser la décroissance de la fonction g sur R- On rappelle que g r Evident que er r car g r La récurrence n ? est pas faite ici mais elle ne pose aucune di ?culté vraie au rang du fait de la question précédente et passage du rang k au rang k en utilisant le fait que la fonction exponentielle est croissante En utilisant l ? inégalité des accroissements ?nis avec la fonction exponentielle sur l ? intervalle ? - On montre le résultat cherché pour tous réels a et b tels que a ? b ? ? eb ea ? b a e En utilisant la question on montre que pour tout entier naturel k uk r euk er On en déduit par récurrence que pour tout entier naturel k ? uk r ? e k récurrence non faite ici mais qui ne pose aucune di ?culté En utilisant l ? encadrement obtenu à la question précédente on montre que la limite de uk r est nulle Donc la suite un n appartenant à l ? ensemble des entiers naturels est convergente et de limite r CExercice Partie Les valeurs propres de A sont et Les vecteurs propres sont respectivement et La matrice P est P Partie On note E l ? ensemble des matrices carrées M x y d ? ordre deux telles que AM MD zt La matrice nulle d ? ordre appartient à E et si on choisit M et N deux éléments de E et k un réel kM N est un