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Spe mathematiques 2022 metropole 1 corrige

Baccalauréat général Session ?? Métropole Épreuve de Mathématiques Sujet de spécialité ?? Proposition de corrigé Sujet Ce corrigé est composé de pages CBaccalauréat général Épreuve de Mathématiques spécialité ME S ?? Corrigé Exercice ?? Exponentielle suites Partie A Étude du premier protocole f t ? te ?? t a Soit t ?? D ? une part par dérivée d ? une composée d dt e ?? t ?? e ?? t D ? autre part la dérivation du produit donne f t d f t e ?? t t ? d e ?? t dt dt e ?? t ?? te ?? t e ?? t ?? te ?? t Finalement en factorisant par l ? exponentielle on a bien f t ?? t e ?? t b Soit t ?? La fonction exponentielle étant strictement positive sur R le signe de f t est celui de ?? t i e positif pour t et négatif sinon Il vient donc le tableau de variations de f sur son domaine de dé ?nition t signe de f t ?? variations de f e ?? c Il est alors possible de remarquer que f sera maximale pour t alors la quantité de médicament présente dans le sang du patient vaudra f a Premièrement on a montré que sur f est strictement croissante De plus f question précédente Et comme ?? il est possible par le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires d ? a ?rmer que l ? équation f t admet une unique solution ?? Finalement par lecture graphique on trouve à ?? près ?? b D ? après les données le médicament est e ?cace lorsque sa quantité dans le sang est supérieure à mg Autrement dit il est e ?cace tant que f t Or f t pour t ?? ? D ? o? le médicament est e ?cace pendant ? ?? ?? heures heures minutes Le médicament sera donc e ?cace pendant une durée ? t heures minutes environ Partie B Étude du second protocole Au bout de la première heure la quantité de médicament a diminué de mais on a réinjecté mg Il vient donc u u ? mg il est également possible d ? invoquer le théorème de la bijection Page sur CBaccalauréat général Épreuve de Mathématiques spécialité ME S ?? Corrigé Soit n ?? N À chaque heure on sait que la quantité de médicament diminue de Il restera alors à l ? heure n une quantité ? un dans le sang Mais comme mg sont réinjectés chaque heure il vient ?nalement ??n ?? N un un a On souhaite montrer par récurrence que pout tout entier naturel n un ? un On va donc dérouler étape par étape un raisonnement par récurrence ?? Initialisation Pour n on a u et u On a alors bien u ? u la propriété est véri ?ée au rang ?? Hérédité Supposons la propriété vraie à un rang n quelconque et montrons qu ? elle reste véri ?ée