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polynome de laguerre PCSI DEVOIR SURVEILLE N Durée h -Calculatrice et téléphone portable interdits Rédiger les problèmes sur feuilles séparées Laisser une marge au correcteur encadrer ou souligner vos résultats La qualité de la rédaction la clarté et la p

PCSI DEVOIR SURVEILLE N Durée h -Calculatrice et téléphone portable interdits Rédiger les problèmes sur feuilles séparées Laisser une marge au correcteur encadrer ou souligner vos résultats La qualité de la rédaction la clarté et la précision des raisonnements entrent en compte dans la notation LE RESPECT DES CONSIGNES DE PRESENTATION RENTRE DANS L ? EVALUATION Questions de cours min ? Déterminer la limite de Sn n ?? ? k ? n ? k Donner le DL n de cos x Donner le DL de f x arctan x ? x Problème Les polynômes de Laguerre Pour tout n ? justi ?er que la fonction fn x xn e ?? x est de classe C sur n On dé ?nit alors pour tout n ? la fonction Ln x e x fn n x a Calculer pour tout x ? L x L x L x ? b Montrer que ? n ? ? x ? Ln x n ? n ? ?? k k ? ?? ?? k ? ? k xk c Justi ?er que Ln est une fonction polynômiale et préciser son degré ainsi que son terme dominant Dans la suite on identi ?e la fonction Ln et le polynôme associé a Montrer que ? n ? ? x ? f'n x fn x ?? fn x b En déduire que ? n ? L'n L'n - Ln a Montrer que ? n ? ? x ? fn x n x ? fn x b En déduire que ? n ? n Ln XL'n n - X Ln Montrer que Ln est solution d'une équation di ?érentielle du nd ordre Problème Intégrales de Wallis et formule de Stirling ? ?? On appelle intégrale de Wallis le réel In sin n tdt o? n ? Partie Propriétés de la suite In n ? a Calculer I et I puis justi ?er à l ? aide d ? un changement de variable que ? ?? ? n ? In cos n tdt b Démontrer que ? n ? In ? In puis que I converge vers ? ? ? a En utilisant la formule d'intégration par parties démontrer que ? n ? In n n ? ? I n b En déduire que In ? In Utiliser la question précédente pour démontrer l ? une des deux égalités suivantes N Véron-LMB C