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Annales d x27 epreuves d x27 examen master c2si 2008 2018

Université Mohammed V de Rabat-Agdal ?? Faculté des Sciences ?? Département de Mathématiques et Informatique Master Codes Cryptographie et Sécurité de l ? Information ?? ère année ?? Systèmes Dynamiques Chaotiques pour le Chi ?rement Sujet d ? examen h en hommage à Edward Norton Lorenz - Première partie ??Le battement d ? ailes d ? un papillon au Brésil peut-il déclencher une tornade au Texas ? C ? est par cette métaphore emblématique que le météorologue Edward Lorenz en a réintroduit le phénomène d ? in ?me sensibilité aux conditions initiales phénomène mis en évidence numériquement lors de l ? étude d ? un modèle simpli ?é de turbulences atmosphériques s ? écrivant système a r et b étant des paramètres strictement positifs En dehors des points d ? équilibre des solutions à conditions initiales situées sur l ? axe des z ou encore quelques familles de solutions périodiques le comportement qualitatif des solutions du modèle de Lorenz demeure globalement un mystère Les simulations numériques encore faut-il y croire heureusement qu'il y a un certain lemme de l'ombre montrent qu ? à partir d ? une certaine valeur critique de r le système devient pathologiquement sensible aux variations des conditions initiales manifestant dès lors une dynamique ?? bien que déterministe ?? totalement erratique et imprévisible A noter tout de même que géométriquement parlant presque toutes les orbites semblent ??remplir ? remarquablement le même domaine Une telle ?gure est illustrée ci-après et reste sans doute l ? une des ?gures ma? tresses du fameux ??e ?et papillon ? de Lorenz ? CDans ce qui suit et évitant tout recours à un appareil mathématique dissuasif les candidats sont alors invités à procéder à une étude qualitative partielle du modèle avec comme seuls pré-requis quelques rudiments de la théorie qualitative des équations di ?érentielles et ? un minimum de curiosité Symétrie orbitale Véri ?er que si x t y t z t est une solution du modèle alors il en est de même pour -x t -y t z t Un système dissipatif Chercher la divergence du champ de vecteurs et en déduire qu ? il s ? agit d ? un système dissipatif Variétés invariantes triviales Véri ?er qu ? une solution aux conditions initiales situées sur l ? axe des z tend vers l ? origine quant t tend vers l ? in ?ni En déduire que l ? ensemble x y est invariant Bifurcation de Points d ? équilibre Montrer que pour r ? l ? origine est le seul point d ? équilibre du système et que si r il y a apparition de autres points d ? équilibre donnés par Attraction ?? Stabilité a Donner la linéarisation du système au voisinage de l ? origine sous forme système o? A est une matrice carrée constante de taille b Véri ?er que c Discuter alors de la dimension des variétés stables et instables au voisinage de l ? origine d Montrer en utilisant le critère de Routh-Hurwitz que