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Examen corrige maths 3 Université Abdelhamid Ibn Badis ??Mostaganem Année - Faculté des Sciences et de la Technologie ieme Année LMD-ST S B C Examen de Rattrapage maths Exercice N pts I Étudier a Vn les séries e n n nn de termes généraux b Wn n n p n II C

Université Abdelhamid Ibn Badis ??Mostaganem Année - Faculté des Sciences et de la Technologie ieme Année LMD-ST S B C Examen de Rattrapage maths Exercice N pts I Étudier a Vn les séries e n n nn de termes généraux b Wn n n p n II Considérons la série de terme général Un p n cos n c Tn n p p n n On pose Sn U U UX n Calculer Sn En déduire la nature de la série Un n Exercice N pts Soit la série de terme général Un x xn X Donner le rayon de convergence et la somme de série entière Un x n X Étudier les séries dérivées Un x et X Un x n n x Développer en série entière la fonction f x x Exercice N pts Dévelop per f x en série x x de Fourier la fonction si x si x f de période dé ? nie par Rappel Les coe cients de Fourier de f Z a f x dx Z Z an f x cos nx dx et bn f x sin nx dx pour n C ieme Année LMD-ST Corrigé de l ? Examen de Rattrapage Module Maths Exercice N pts I a En utilisant la règle de d ? Alembert Vn e Vn n n n n nn e nn e nn n Or lim Vn n XVn e La série Vn est donc convergente n p b On a Wn n n n n X La série n diverge car n s n diverge n X La série n p n coverge par le critère de Leibniz car n n p p Un n n n n an n avec an n an pour tout np n lim an lim n n n lim p n n p an n X est décroissante car f x x x f x x p x x Wn est somme d ? une série divergente et d ? une série convergente n Elle est donc divergente cos n c jTnj n n X La série n n converge série de Riemann avec X X Par comparaison La série Tn est absolument convergente La série Tn n n est donc convergente CII On peut écrire U p p p U p p p U p p p Un p n p p n n Un p n p p n n Un p n p p n n d ? o? en additionnant membre à membre Sn p p n lim Sn X p La série Un est donc convergente et a pour somme n p p n n p Exercice N pts X On a xn x n pour x R X X Soit g x Un x xn n n g x x X La série dérivée Un x a même rayon de convergence R que n X la série Un x et a pour somme g x n X La série dérivée Un x a