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Feuille d x27 exercices n01

Université Abdelhamid Ben Badis de Mostaganem Faculté des Sciences Exactes et d ? Informatique Département de Mathématiques et Informatique ere Année Licence MIAS Matière AnalyseI Responsable Prof Sidi Mohamed Bahri Feuille d ? exercices N Septembre Naturels Rationnels et Réels Dans chacun des cas suivants utilisez uniquement et indiquez les théorèmes ou les axiomes introduits dans le cours Exercise a Montrer que n n n pour tout n N b Montrer que n n pour tout n N Exercise Nous décrivons maintenant une extension utile du principe de l ? induction mathématique Soit Pm Pm une suite de propositions montrez que i Pm est vraie ii pour tout n m si Pm est vraie alors Pm est vraie alors Pn Pn sont vraies Utilisez cette extension du principe de l ? induction mathématique pour montrer les a rmations suivantes a n n pour tout entier n b n n tout entier n Rappelons que n n n exemple Par Exercise Soit p q Q Supposons que pour tout s p nous avons q s Montrer que q p Astuce Montrer le résultat par contradiction en utilisant le fait que entre deux nombres rationnels il existe un nombre rationnel Exercise Montrer que pp est irrationel De ? même pour p p p Exercise a Montrer que est irrationnel C b Considérons maintenant l ? ensemble E f Qj g Étant donné Q tel que trouver un nombre rationnel explicite dépendant bien sûr de tel que Indice Il est facile de voir que Aussi si est choisi inférieur à alors quel axiome d ? ordre utilisons-nous c De même si et trouver un nombre rationnel explicite positif tel que et pourtant est une borne supérieure de E d Par conséquent montrez que E n ? a pas de borne supérieure dans Q Exercise Soit A B R a Si sup A sup B alors montrer qu ? il existe b B qui soit une borne supérieure pour A b Montrer en donnant un exemple que ce n ? est pas nécessairement le cas si sup A sup B Exercise Soit a b des nombres réels et considérons l ? ensemble T Q a b Montrer que inf T a et sup T b Exercise Soit a b R a Montrer que jbj a si et seulement si a b a b Montrer que jjbj jajj jb aj Exercise a Soit a b R tel que a b n pour tout n N Montrer que a b b Montrer que si a alors il existe un nombre naturel n N tel que n a n Exercise Soit a b R tel que a b Utilisez la densité de Q pour montrer qu ? il existe une in ? nité de rationels entre a et b Exercise Soit A et B des sous-ensembles non vides de R et posons A B fa bja A b Bg C ? est-à-dire que A B est l ? ensemble de toutes les sommes a b o? a