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On the repartition of powers modulo 1

C R Acad Sci Paris Ser I ?? Contents lists available at ScienceDirect C R Acad Sci Paris Ser I www sciencedirect com Analyse mathématique Sur la répartition des puissances modulo On the repartition of powers modulo Jean-Pierre Kahane info article Historique de l ? article Reçu le décembre Accepté le décembre Disponible sur Internet le mars Présenté par Jean- Pierre Kahane résumé L ? ensemble des x tels que xn n n ? est pas équidistribué modulo qui est de mesure nulle est de dimension Cela découle du fait suivant quelle que soit la suite bn dans et l ? ensemble des x tels que xn est -proche de bn modulo à partir d ? un certain rang a pour dimension Mais cet ensemble limité à un intervalle X a une dimension qui dépend de et de X C ? est l ? objet de quelques propositions et d ? une question ouverte ? Publié par Elsevier Masson SAS pour l ? Académie des sciences abstract For almost all x xn n is equidistributed modulo a classical result What can be said on the exceptional set It has Hausdor ? dimension one Much more given an bn in and the x-set such that xn ?? bn modulo for n large enough has dimension However its intersection with an interval X has a dimension depending on and X Some results are given and a question is proposed ? Publié par Elsevier Masson SAS pour l ? Académie des sciences Soit x On sait depuis un siècle que les puissances de x sont équidistribuées modulo pour presque tout x L ? équidistribution des xn sur T R Z signi ?e que ?? f ?? C T lim N f xn f t dt N ? ? N n L ? ensemble des x pour lesquels est en défaut est donc de mesure de Lebesgue nulle Peut-on en dire plus Pour certains x on sait que les xn sont distribués selon une mesure de probabilité ? ce qui signi ?e ?? f ?? C T lim N f xn f d ? N ? ? N n Il en est ainsi si x est un nombre de Pisot ? est la mesure de Dirac en ou un nombre de Salem ? est la distribution d ? une somme de cosinus de variables indépendantes Voici une réponse à la question posée P L ? ensemble des x pour lesquels la suite xn n ? est pas uniformément distribuée modulo a pour dimension dimension dimension de Hausdor ? - X ?? see front matter ? Publié par Elsevier Masson SAS pour l ? Académie des sciences http dx doi org j crma C J -P Kahane C R Acad Sci Paris Ser I ?? Plus généralement P L ? ensemble des x pour lesquels la suite xn n ? admet aucun distribution modulo c ? est-à-dire pour lesquels est en défaut pour toute mesure ? a pour dimension Notons x ?? y la distance