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Algebre1 td2 corrige pdf E ?cole Normale Supe ?rieure Anne ?e - ere anne ?e Algebre TD Actions de groupes et th ?eor emes de Sylow Exercices a pr ?eparer a la maison avant le TD seront corrig ?es en d ?ebut de TD Exercices seront trait ?es en classe en pr

E ?cole Normale Supe ?rieure Anne ?e - ere anne ?e Algebre TD Actions de groupes et th ?eor emes de Sylow Exercices a pr ?eparer a la maison avant le TD seront corrig ?es en d ?ebut de TD Exercices seront trait ?es en classe en priorit ?e Exercices plus di ?ciles Exercice Soit p un nombre premier a Montrer qu ? un groupe de cardinal p est commutatif b Combien d ? ?el ?ements d ? ordre p y a-t-il dans un groupe de cardinal p Et dans un groupe de cardinal p Solution de l ? exercice a Soit G un groupe d ? ordre p L ? ?equation aux classes pour l ? action de G sur lui-m eme par conjugaison assure que le centre Z de G n ? est pas r ?eduit al ? ?el ?ement neutre Donc G Z est de cardinal ou p Dans le second cas le groupe G Z est donc cyclique ce qui assure que G est commutatif voir la feuille de TD exercice En outre si G admet un ?el ?ement d ? ordre p alors G est cyclique et isomorphea Z p Z Si G n ? admet pas de tel ?el ?ement alors tous ses ?el ?ements autres que le neutre sont d ? ordre p En choisissant x ?? G e et y ?? G x on voit que G x y est isomorphe aZ pZ ? Z pZ b Dans un groupe de cardinal p tout ?el ?ement autre que le neutre est d ? ordre p et p sont les seuls diviseurs positifs de p Donc un tel groupe admet p ?? ?el ?ements d ? ordre p Soit G un groupe d ? ordre p Si G est cyclique engendr ?e par x on voit que xn est d ? ordre p si et seulement si p divise n et p ne divise pas n Cela assure que les ?el ?ements d ? ordre p sont exactement les xpr avec r p ?? Ils sont donc en nombre de p ?? Si G n ? est pas cyclique tous les ?el ?ements autres que le neutre sont d ? ordre p donc G contient p ?? ?el ?ements d ? ordre p Exercice Soit G un groupe ?ni agissant sur un ensemble ?ni X En consid ?erant l ? ensemble E g x ?? G ? X g x x calculer le nombre moyen de point ?xes d ? un ?el ?ement de G Que dire en particulier si l ? action est transitive Que dire de la moyenne du nombre de points ?xes d ? une permutation al ?eatoire Solution de l ? exercice On calcule le cardinal de E de deux fac ons di ? ?erentes E Fix g g ??G et E x ??X StabG x x ??X G y ??x StabG y x ??X G x StabG x G X G ou on note Fix g x ??