Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

I generalites sur les nombres de stirling

Corrigé Centrale TSI Math I I Généralités sur les nombres de Stirling I A Premières propriétés des nombres de Stirling I A a La seule décomposition de en somme de deux entiers non nuls est Ainsi si E est de cardinal toute partition de E en deux comporte deux ensembles de cardinal respectif et Pour l ? ensemble de cardinal il existe possibilités l ? ensemble de cardinal est entièrement déterminé comme le complémentaire du premier dans E On en déduit S b La seule partition de E en une partie est E Sn ?? n ?? N ? Il n ? y a qu ? une façon de faire une partition d ? un ensemble de cardinal n en n sous-ensembles non vides chaque sous-ensemble est un singleton de cardinal l ? ordre de ces singletons n ? ayant pas d ? incidence on a Sn n ?? n ?? N ? I A a i La seule partition de E en deux parties dont l ? une est le singleton est a ii Les partitions de E en deux qui ne contiennent pas le singleton sont a iii Considérons une partition en deux parties de E Soit elle contient le singleton soit elle ne le contient pas Dénombrons séparément celles qui contiennent le singleton et les autres Si elle contient comme partie le singleton l ? autre partie est nécessairement une partition en un seul élément de E ?? Le nombre de partitions de E en deux parties dont l ? une est le singleton est donc S Si elle ne contient pas le singleton on peut l ? interpréter comme une partition en deux parties de E ?? à laquelle l ? élément a été ajouté dans l ? une des deux parties Réciproquement chaque partition de E ?? en deux parties fournit ainsi deux partitions de E en deux parties qui sont des partitions non composées du singleton Ainsi le nombre de partitions de E en deux parties ne comportant pas le singleton est le double du nombre de partitions de E ?? en deux parties soit S En résumé on a montré S S S ce qui est bien un cas particulier de Sn k Sn ?? k ?? kSn ?? k L Pharamond Lycée Chaptal CCorrigé Centrale TSI Math I b i Les partitions de E en k parties dont l ? une est xn sont en bijection avec les partitions de E ?? xn en k ?? parties Elles ont donc même cardinal Le nombre de partitions de E en k parties dont l ? une est xn est Sn ?? k ?? b ii De toute partition de E ?? xn en k parties on peut construire k partitions distinctes de E en k parties il su ?t d ? ajouter xn à l ? une des k parties On construit ainsi toutes les partitions de E en k parties qui ne comportent pas le singleton xn Le nombre de partitions de