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Bijt PCSI -PCSI DNS n Cahier de vacances - Ce qui suit fera o n ce de cours sur les notions d ? injection surjection bijection Les exercices obligatoires à traiter en priorité sont les suivants et et et Les autres exercices n ? en sont pas moins intéressa

PCSI -PCSI DNS n Cahier de vacances - Ce qui suit fera o n ce de cours sur les notions d ? injection surjection bijection Les exercices obligatoires à traiter en priorité sont les suivants et et et Les autres exercices n ? en sont pas moins intéressants pour autant et doivent mériter votre attention Dé n nitions de injection-surjection-bijection On considère une application o? est l ? ensemble de départ ensemble de dé n nition de l ? application de et l ? ensemble d ? arrivée de Ainsi pour tout ? existe de manière unique et ? On dit que est l ? image de par l ? application Si ? et s ? il existe un élément ? tel que on dit que est un antécédent de par Injection On dit que est une injection application injective si deux éléments di n érents de ont toujours des images di n érentes par dans ? Ceci se traduit par est injective si ? n ? n ? Une dé n nition équivalente obtenue par contraposition est si deux éléments de ont la même image alors nécessairement ils sont égaux ? ie ? ? ? Une application est donc injective lorsque tout élément de possède au plus ou un antécédent dans l ? ensemble tel que Exemple soit un ensemble On note id l ? application qui à tout ? associe c ? est à dire ? id L ? application id est une injection car si ? alors id id ? Exemple soit n n avec Pour ? n si alors - ie - d ? o? ou cette dernière égalité entra? nant pas évident à véri n er Dans tous les cas on a forcément Donc est injective Méthode pour montrer qu ? une application est injective on montre que pour tous les couples d ? éléments de l ? hypothèse entraine nécessairement pour montrer qu ? une application n ? est pas injective il su n t de trouver deux éléments et distincts n qui ont la même image par ie véri n ant autre méthode pour prouver que est injective on montre que pour tout ? l ? équation ? d ? inconnue possède au plus i e ou solution dans l ? ensemble Remarque soit un intervalle de n et soit n Si est strictement croissante alors est injective En e n et si et sont deux éléments distincts de on a ?? ?? Lycée Faidherbe Lille PCSI -PCSI DNS n Cahier de vacances - que l ? on ait Surjection On dit que est une surjection application surjective si pour tout élément de il existe au moins un antécédent par dans ? Ceci se traduit par est surjective si ? ? ? Exemple l ? application id introduite précédemment est une surjection de dans car ? id autrement dit tout élément de admet au moins un antécédent lui-même Exemple soit - avec Pour tout ? on cherche s ? il existe toujours au