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Les outils de l x27 optimisation

Les Outils de l ? Optimisation Mathématique Sommaire Formulation Générale Quelques Exemples Rappels de Topologie Différentiabilité Gradient et Hessien Exemple Relations entre Dérivées et Optimums Ensembles Convexes Fonctions Convexes Minimums Local et Global Courbes de Niveaux Autres Exemples Forme quadratique Formulation Générale Trouver avec W nn ? nnn n nn nnnn nn nn ? nn nn et n des fonctions de nnn n nn est la fonction à optimiser minimiser n et nn sont les contraintes nn est solution optimale de ce problème si nn ? W et nn nn ? nn nn nn ? W Remarques Maximiser nn nn revient à minimiser ?? nn nn Si W nnn il s ? agit d ? un problème d ? optimisation sans contrainte Quelques Exemples Exemple problème avec contraintes Mminimiser la surface d ? un cylindre ayant un volume nn constant nn min nn nn n nn nn nn nn n nn Soumis à nn nn n nn nn ? n ? Solution On pose nn nn nn nn nn n nn nn n nn ? n nn nnnn dans ? nn nn nn nn nn nn nnnn ? nn nn nn nn nn nn nn ? nn r - nn nn ? nn nn nn dans ? n nn nn ? Exemple problème sans contraintes Approximer un nuage de points nn nn ? nnnn nnnn par un polynôme nn nn nn nn nn Solution Selon la méthode des moindres carrés on doit minimiser la somme des écarts D nnnn nn nnnn - nnnn nn nnnn nn - nnnn d ? o? le modèle nn min nn nn nn nn nnnn nn - nnnn nn Exemple problème linéaire Maximiser le profit d ? un producteur avec nnnn profit unitaire de l ? article nn nnnn disponibilité matière première nn nnnnnn quantité de la matière première nn nécessaire pour produire un article de type nn Solution nnnn quantité à produire de l ? article nn nn Le modèle est max nn nn nn nn nn nn nn nn nn nn soumis à nn nn nn ? nn nn nn nn ? nn Rappels de Topologie n nn est distance sur l ? ensemble nn si nn nn n et nn nn nn n nn nn séparation nn nn nn nn nn nn pour tout couple nn nn ? nn symetrie nn nn nn ? nn nn nn nn nn nn pour tout triplet nn nn nn ? nn convexité n Un espace métrique nn nn est un ensemble nn munie d ? une distance d n Soit nn ? nn le diamètre de A est nn nn sup nn nn nn n nn ? nn ? nn ? nn n nn nn ? n A est borné ssi d A est fini n Une boule ouverte nn nn nn nn ? nn n nn nn nn n Une boule fermée nn nn nn nn ? nn n nn nn nn ? nn n Une sphère nn nn nn nn ? nn n