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Mecanique des milieux continus 1

Mécanique des milieux continus et discrets Nicolas MO? S EI ÉCOLE CENTRALE DE NANTES Table des matières Pourquoi la mécanique des milieux continus De la mécanique du point matériel à la mécanique des milieux continus La mécanique des milieux continus au centre des disciplines de l ? ingénieur Notion de milieu continu et d ? échelle d ? observation Remarques importantes Système d ? unités Éléments de calcul tensoriel Convention de sommation d ? Einstein Symbole de Kronecker Symbole de permutation dit de Lévi-Civita Changement de base Scalaire Vecteur Tenseur d ? ordre Étude des tenseurs d ? ordre Tenseur identité Tenseur symétrique et antisymétrique Trace d ? un tenseur Produit contracté Produit tensoriel Représentation spectrale d ? un tenseur Formule d ? intégration par partie Formule de Green-Ostrogradski Formule de Stokes Systèmes de coordonnées curvilignes orthogonales Coordonnées cartésiennes Coordonnées cylindriques Coordonnées sphériques Formules utiles Description de la cinématique d ? un milieu continu Trajectoire et dérivées temporelles Gradient de la transformation Dé n nition des tenseurs de déformation Interprétation des composantes des tenseurs de déformations Décomposition polaire Changement de volume Changement de surface Taux de déformation Déformations en petites perturbations Formulation de l ? hypothèse des petites perturbations HPP Simpli n cation des résultats dans l ? hypothèse HPP Table des matières Conditions de compatibilité des déformations Directions principales des déformations et cercle de Mohr Dépouillement d ? une rosette en extensométrie Lois de bilan Forme globale des lois de bilan Forme locale des lois de bilan Conséquences des lois de bilan Conséquences de la conservation de la masse Conséquences du bilan de quantité de mouvement Conséquences de la bilan du moment cinétique Conséquences du bilan de l ? énergie Le tenseur des contraintes Introduction du tenseur des contraintes par extension de la mécanique des solides indéformables Volume élémentaire au sein du milieu Volume élémentaire en surface du milieu Introduction du tenseur des contraintes par le principe des puissances virtuelles Dé n nition des puissances virtuelles Théorème de l ? énergie cinétique La dualité en mécanique Propriétés locales du tenseur des contraintes Contrainte normale et contrainte de cisaillement Contraintes normales principales Représentation des contraintes le tricercle de Mohr État plan de contrainte Tenseur des contraintes sphérique Tenseur des contraintes uniaxial Tenseur des contraintes de cisaillement simple Théorie de l ? élasticité linéaire isotrope Les équations La cinématique Équilibre Comportement élastique isotrope Récapitulatif Théorèmes de l ? énergie potentielle Techniques de résolution analytique Approche en déplacement Approche en contrainte Solide en état plan de déformation Solide en état plan de contrainte Fonction de contrainte d ? Airy Techniques de résolution numériques Thermoélasticité Problèmes classiques d ? élasticité Cylindre sous pression Traction d ? un barreau prismatique Torsion d ? un barreau prismatique École Centrale de Nantes cours de mécanique des milieux continus et discrets page Table des matières Thermodynamique et lois de comportement Le premier principe Le second principe École Centrale de Nantes cours de mécanique des milieux continus et discrets page Avant-propos Dans ce cours des milieux continus une