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Optimisation chapitre 1 Cours d ? optimisation M AS et AII Département Automatique UMMTO N DJEGHALI Chapitre Rappels mathématiques Définition d ? un problème d ? optimisation D ? un point de vue mathématique l ? optimisation consiste à rechercher le minim

Cours d ? optimisation M AS et AII Département Automatique UMMTO N DJEGHALI Chapitre Rappels mathématiques Définition d ? un problème d ? optimisation D ? un point de vue mathématique l ? optimisation consiste à rechercher le minimum ou le maximum d ? une fonction avec ou sans contraintes Un problème d ? optimisation avec contraintes est défini comme suit a Problème de minimisation avec contraintes recherche du minimum d ? une fonction Min f x x ? R n Sous les contraintes Pc g i x i m h j x ? j p Contraintes d ? égalité Contraintes d ? inégalité Avec Min f x signifie le minimum de f x On dit que l ? on cherche à minimiser la fonction f Exemple Min x x Sous les contraintes x x x x ? b Problème de maximisation avec contraintes recherche du maximum d ? une fonction Un problème de maximisation avec contraintes est défini comme suit Max f x x ? R n Sous les contraintes Pc g i x i m h j x ? j p Avec Max f x signifie le maximum de f x On dit que l ? on cherche à maximiser la fonction f Dans les problèmes d ? optimisation Pc et Pc la fonction f x définie de D dans R i e f D R porte divers noms fonction de coût fonction objectif ou critère d ? optimisation djeghalinadial csp gmail com Chapitre Rappels mathématiques N DJEGHALI x x x x n ? D ? R n Les variables x x x n sont appelées variables de décision D est appelé l ? ensemble ou domaine admissible défini par l ? ensemble des contraintes comme suit D x ? R n gi x i m et h j x ? j p Remarque Les problèmes Pc et Pc peuvent être écrits sous les formes simplifiées P ? c et P ? c suivantes Min f x P ? c x ? D ? R n Max f x P ? c x ? D ? R n Remarque En absence de contraintes gi x i m et h j x ? j p les problèmes Pc et Pc deviennent P Min f x x ? Rn Max f x P x ? Rn Dans ce cas P et P sont respectivement des problèmes de minimisation et de maximisation sans contraintes Remarque Max f x - Min -f x et Min f x - Max -f x Ainsi la recherche d ? un maximum peut se ramener à la recherche d ? un minimum et vice versa Min f x Max -f x f x x -f x Chapitre Rappels mathématiques N DJEGHALI Convexité a Ensemble convexe un ensemble D ? R n est dit convexe si pour tout couple x x ? D et a ? on a x a x - a x ? D Cette définition peut être interprétée en disant que le segment reliant