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Contraintes slides Optimisation sous contraintes Fabrice Rossi TELECOM ParisTech Décembre Janvier Plan Résultats théoriques Introduction Existence et unicité Conditions d ? optimalité Dualité Second ordre Algorithmes Introduction Gradient Pénalisation Dua

Optimisation sous contraintes Fabrice Rossi TELECOM ParisTech Décembre Janvier Plan Résultats théoriques Introduction Existence et unicité Conditions d ? optimalité Dualité Second ordre Algorithmes Introduction Gradient Pénalisation Dualité F Rossi Plan Résultats théoriques Introduction Existence et unicité Conditions d ? optimalité Dualité Second ordre Algorithmes Introduction Gradient Pénalisation Dualité F Rossi Résultats théoriques Forme générale un problème d ? optimisation P est dé n ni par minimiser sur Rn avec J x hi x ? i ? p gj x ? ? j ? q F Rossi Résultats théoriques Forme générale un problème d ? optimisation P est dé n ni par minimiser sur Rn avec J x hi x ? i ? p gj x ? ? j ? q rappel de vocabulaire les hi sont les contraintes d ? égalité notées h x les gj sont les contraintes d ? inégalité notées g x ? l ? ensemble des contraintes est C x ? Rn hi x ? i ? p et gj x ? ? j ? q ensemble des points admissibles ou réalisables F Rossi Résultats théoriques Conséquences les contraintes changent les conditions d ? optimalité exemple J x y x y à minimiser sous la contrainte g x y - x - y ? sur R on étudierait ? J x y T mais ici le minimum vaut et est atteint sur le cercle x y sur lequel ? J F Rossi Résultats théoriques Conséquences les contraintes changent les conditions d ? optimalité exemple J x y x y à minimiser sous la contrainte g x y - x - y ? sur R on étudierait ? J x y T mais ici le minimum vaut et est atteint sur le cercle x y sur lequel ? J mais pas toujours J x y x y à minimiser sous la contrainte g x y x y - ? le minimum est atteint en avec ? J F Rossi Résultats théoriques Conséquences les contraintes changent les conditions d ? optimalité exemple J x y x y à minimiser sous la contrainte g x y - x - y ? sur R on étudierait ? J x y T mais ici le minimum vaut et est atteint sur le cercle x y sur lequel ? J mais pas toujours J x y x y à minimiser sous la contrainte g x y x y - ? le minimum est atteint en avec ? J les contraintes doivent donc appara? tre dans les conditions d ? optimalité F Rossi Résultats théoriques Existence d ? un minimum cas général P min J x x ? C ? Rn on suppose J continue et C fermé et non vide alors si C est borné ou si J est coercitive alors P admet au moins une solution F Rossi Résultats théoriques Existence et unicité remarque si C x ? Rn hi x ? i ? p et gj x ? ? j ? q avec des hi et gj continues alors