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Table des matières 1 Tenseur des contraintes en un point d’un solide chargé 1 1

Table des matières 1 Tenseur des contraintes en un point d’un solide chargé 1 1.1 Notation indicielle 2 1.2 État de contrainte en un point 6 1.3 Directions et contraintes principales 7 1.4 Contraintes de cisaillement maximal et octaédrique 10 1.5 Cercles de Mohr 11 1.6 Déviateur des contraintes 12 1.7 État de cisaillement pur 13 1.8 Bibliographie 14 1.9 Exercices 14 2 Tenseur des déformations en un point d’un solide chargé 16 2.1 État de déformation en un point 17 2.2 Interprétation physique des composantes du tenseur des déformations 19 2.3 Déformations principales : invariants du tenseur des déformations 20 2.4 Glissements maximal et octaédrique 21 2.5 Déviateur des déformations 21 2.6 Équations de compatibilité des déformations 23 2.7 Exercices 23 3 Équations de l’élasticité linéaire 26 3.1 Équations de comportement élastique linéaire 27 3.2 Énergie de déformation 29 3.3 Principe de solution des problèmes d’élasticité 30 3.4 Élasticité plane 31 3.5 Utilisation des coordonnées cylindriques 37 3.6 Bibliographie 41 3.7 Exercices 41 4 Critères de limite d’élasticité et de rupture 45 4.1 Comportements limites en tension-compression 46 4.2 Critères de limite d’élasticité pour les matériaux ductiles 47 4.3 Critères de rupture pour les matériaux fragiles 51 4.4 Représentation dans l’espace de Haigh-Westergaard 54 4.5 Surfaces limites pour les matériaux ductiles 57 4.6 Écrouissage 60 4.7 Surfaces limites pour les matériaux fragiles 64 4.8 Note historique (critères de limite d’élasticité) 65 4.9 Bibliographie 66 4.10 Exercices 67 vi Plasticité, fatigue et rupture des matériaux métalliques 5 Équations de déformation (ou d’écoulement) dans le domaine plastique 70 5.1 Déformations dans le domaine plastique 71 5.2 Effet du trajet de chargement sur l’état de déformation en un point d’un solide 71 5.3 Équations de Prandtl-Reuss d’écoulement plastique 73 5.4 Travail plastique – mesure de l’écrouissage 76 5.5 Équations d’écoulement associées au critère de Tresca 80 5.6 Théories incrémentales et totales 81 5.7 Bibliographie 82 5.8 Exercices 82 6 Modélisation du comportement élastoplastique uniaxial 84 6.1 Introduction 85 6.2 Matériau élastique parfaitement plastique 85 6.3 Contraintes résiduelles 89 6.4 Matériau élastique parfaitement plastique : adaptation et rochet 93 6.5 Matériau à écrouissage linéaire 99 6.6 Matériau à écrouissage non linéaire 103 6.7 Bibliographie 108 6.8 Exercices 109 7 Caractérisation de la résistance des matériaux à la fatigue 113 7.1 Introduction 114 7.2 Essais de fatigue normalisés – courbe S/N d’un matériau 115 7.3 Correction des résultats d’essais normalisés 120 7.4 Chargements à valeur moyenne non nulle – diagramme de Haigh 121 7.5 Bibliographie 127 7.6 Exercices 128 8 Calcul de l’endommagement pour les chargements d’amplitude variable 130 8.1 Introduction 131 8.2 Fraction de vie et règle de cumul linéaire de Palmgren-Miner 132 8.3 Autres règles de cumul du dommage 134 8.4 Comptage des cycles 141 8.5 Bibliographie 143 8.6 Exercices 144 9 Concentration de contrainte et résistance à la fatigue 147 9.1 Facteur de concentration théorique Kt 148 9.2 Facteur effectif de concentration en fatigue Kf 149 9.3 Relation entre Kf et Kt 150 9.4 Endurances limitées 153 9.5 Contrainte moyenne non nulle 154 9.6 Conclusion 155 9.7 Bibliographie 155 9.8 Exercices 156 vii 10 États de contrainte complexes 159 10.1 Cycle de contrainte en un point 160 10.2 Représentation dans l’espace de Haigh-Westergaard 162 10.3 Critères de limite d’endurance 164 10.4 Critères de Sines et de Crossland 165 10.5 Critère de Dang Van 172 10.6 Conclusion 175 10.7 Bibliographie 175 10.8 Exercices 176 11 Calculs de fatigue basés sur la déformation : fatigue oligocyclique 178 11.1 Introduction 179 11.2 Comportement cyclique des métaux dans le domaine plastique 179 11.3 Courbe de fatigue oligocyclique 183 11.4 Concentration de contrainte et plasticité 187 11.5 Influence des concentrations de contrainte en fatigue 190 11.6 Charges d’amplitude variable 193 11.7 Bibliographie 197 11.8 Exercices 198 12 Solides fissurés – étude énergétique de la rupture 200 12.1 Mécanique de la rupture 201 12.2 Énergie potentielle d’un solide chargé 204 12.3 Application au cas d’un solide fissuré chargé 205 12.4 Fissure de Griffith 207 12.5 Taux de restitution d’énergie potentielle 210 12.6 Complaisance (compliance) d’une pièce fissurée 212 12.7 Bibliographie 216 12.8 Exercices 217 13 Solides fissurés – contraintes et déplacements 219 13.1 Calcul des contraintes dans une plaque fissurée en tension 220 13.2 Plaque fissurée en tension – interprétation 226 13.3 Influence de la configuration 230 13.4 Bibliographie 235 13.5 Exercices 235 14 Modes de fissuration 238 14.1 Définitions 239 14.2 Contraintes et déplacements 240 14.3 Rupture en mode mixte 243 14.4 Bibliographie 247 14.5 Exercices 247 viii Plasticité, fatigue et rupture des matériaux métalliques 15 Influence de la plasticité du matériau 249 15.1 Introduction 250 15.2 Zone plastique d’Irwin 250 15.3 Zone plastique de Dugdale-Barenblatt 254 15.4 Forme de la zone plastique 257 15.5 Bibliographie 260 15.6 Exercices 260 16 Fissures elliptiques 261 16.1 Introduction 262 16.2 Fissure circulaire dans un solide infini 262 16.3 Fissure elliptique interne 264 16.4 Fissure elliptique de surface 265 16.5 Correction de zone plastique 266 16.6 Correction pour la proximité des surfaces libres 268 16.7 Fissure elliptique interne proche d’une surface libre 269 16.8 Bibliographie 271 16.9 Exercices 272 17 Mesure de la résistance à la rupture 274 17.1 Introduction 275 17.2 Déformation plane – mesure de KIc 277 17.3 Relation entre Kc et KIc 281 17.4 Calcul de KIc à partir de l’essai Charpy 281 17.5 Ténacité dynamique KId d’un matériau 284 17.6 Bibliographie 285 17.7 Exercices 286 18 Critères de rupture dans le domaine élastoplastique 288 18.1 Introduction 289 18.2 Écartement en fond de fissure (C.O.D.) 289 18.3 Intégrale J de Rice 290 18.4 Conditions de contrainte plane ou mixte – courbe R 295 18.5 Bibliographie 296 18.6 Exercices 297 19 Rupture par fatigue 299 19.1 Introduction 300 19.2 Amplitude 'K du facteur d’intensité de contrainte 300 19.3 Chargement cyclique d’amplitude constante – loi de Paris 301 19.4 Application de la loi de Paris 303 19.5 Influence du niveau moyen des contraintes 303 19.6 Chargements d’amplitude variable 307 19.7 Fatigue en mode mixte 311 19.8 Fissures courtes 312 ix 19.9 Bibliographie 313 19.10 Exercices 314 20 Autres aspects de la mécanique de la rupture et de la fatigue 317 20.1 Introduction 318 20.2 Dynamique de la rupture 318 20.3 Corrosion fissurante 322 20.4 Fatigue de fretting 325 20.5 Bibliographie 326 Annexe A Comportement plastique des métaux 328 Annexe B Facteurs de concentration de contrainte Kt 340 Annexe C Fonctions analytiques d’une variable complexe 351 Annexe D Recueil de facteurs d’intensité de contrainte pour quelques cas particuliers 355 Annexe E Divers 362 Index 366 1 Tenseur des contraintes en un point d’un solide chargé 1.1 Notation indicielle 1.2 État de contrainte en un point 1.3 Directions et contraintes principales 1.4 Contraintes de cisaillement maximal et octaédrique 1.5 Cercles de Mohr 1.6 Déviateur des contraintes 1.7 État de cisaillement pur 1.8 Bibliographie 1.9 Exercices 2 Plasticité, fatigue et rupture des matériaux métalliques 1.1 NOTATION INDICIELLE Dans ce livre, on utilise généralement les notations (x,y,z) pour désigner les axes cartésiens. Cependant, dans certains cas, la notation dite indicielle est plus pratique, car elle conduit à des équations plus compactes. Elle consiste à désigner chaque axe par un chiffre. Le repère cartésien devient alors (1,2,3). L’utilité de cette notation peut être mise en évidence par les exemples suivants. Un vecteur V est défini par ses trois composantes : & Repère (x,y,z) : (Vx, Vy, Vz) Repère (1,2,3) : (V1, V2, V3) y 2 x 1 z 3 V Figure 1.1 D’autre part, le vecteur V peut aussi être appelé vecteur où l’indice i représente les trois valeurs 1, 2 ou 3. Cette façon de noter un vecteur est dite notation indicielle. (Note : sur les figures, un vecteur sera noté en caractères gras.) & , i V Un tableau carré [A] de neuf valeurs définies par rapport aux repères cartésiens (x,y,z) ou (1,2,3) peut s’écrire : > @ 11 12 13 21 22 23 31 32 33 xx xy xz yx yy yz zx zy zz A A A A A A A A A A A A A A A A A A A ª º ª º « » « » « » « » « » « » ¬ ¼ « » ¬ ¼ (1) En notation indicielle, cependant, le tableau est simplement représenté par Aij, où il est entendu que i et j prennent chacun les trois valeurs possibles 1, 2, et 3, qu’on écrit : (i,j = 1,2,3). 1 Tenseur des contraintes en un point d’un solide chargé 3 CRITÈRE DE TENSORIALITÉ On considère deux repères cartésiens (1,2,3) et (1’,2’,3’). Les cosinus directeurs des axes (1’,2’,3’) par rapport à (1,2,3) forment une matrice Les composantes V . ij " i du vecteur V & dans (1,2,3) deviennent des composantes Vi’ dans (1’,2’,3’). Les Vi’ sont reliées aux Vi par les trois équations : 3 1 i ij j V c j V ¦" (2) 2 1 3 2’ 1’ 3’ Figure 1.2 Si le changement de repère modifie les neuf composantes Aij définies précédemment en ij Ac et si la relation entre ces composantes est donnée uploads/Voyage/ sommaire-plasticite-fatigue-et-rupture.pdf