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Le chemin vers le bac Le sujet comporte quatre exercices répartis en deux pages

Le chemin vers le bac Le sujet comporte quatre exercices répartis en deux pages EXERCICE 1: (3 points) I/Pour chacune des propositions suivantes, une seule des trois réponses est exacte. Indiquez la sans justifier. 1) Une racine carrée du nombre complexe ቀ݁�� రቁ ହ est : a) ݁�� ర b) ݁�ఱ� 8 c) ݁�� 8 2) Soit a un réel non nul. On considère l'équation (E) : ��. �ଶ+ �+ �= Ͳ. On note z′ et z′′ les solutions de l'équation (E), alors: a) z′ × z′′ = −� b) z′ × z′′ = −ଵ �� c) z′ × z′′ = ଵ �� II/Soit ݂ une fonction deux fois dérivable sur [Ͳ, +∞[ et voici ci-contre la courbe de sa fonction dérivée ݂′. Soit (C) la courbe représentative de la fonction ݂. Pour chacune des propositions suivantes, répondre par : vrai ou faux sans justifier : 1) La fonction ݂ est décroissante sur [ͳ, +∞[ 2) Le point d'abscisse 1 de (C) est un point d'inflexion de (C). EXERCICE 2: (5 points) Dans le graphique ci-contre on a tracé dans un repère orthonormé (O,ଓ ⃗,ଔ ⃗) la courbe (C) d’une fonction ݂ définie sur IR. ӿ (T) est la tangente à (C) au point A(4,1). ӿ Chaque flèche représente un vecteur directeur d'une demi-tangente. ӿ La courbe (C) admet exactement deux tangentes horizontales. ӿ La courbe (C) admet deux branches paraboliques de direction celle de (O,ଔ ⃗) 1) Déterminer : ݂′ሺͲሻ , ݂ d ′ሺͳሻ , ݂′ሺ͵ሻ , ݂′ሺͶሻ , ݈�݉ �⟶ଵ− �ሺ�ሻ+ଶ �−ଵ , ݈�݉ �⟶+∞ �ሺ�ሻ � et ݈�݉ �⟶−∞ �ሺ�ሻ � 2) Déterminer les intervalles sur lesquels ݂ est dérivable. 3) Dresser le tableau de variation de la fonction ݂ et préciser les extrema. 4) Soit la fonction ݃ définie sur ]−ʹ,ͳ[ par : ݃ሺ�ሻ= ݂o݂ሺ�ሻ a) Déterminer ݂ሺ]−ʹ,ͳ[ሻ. b) Montrer que ݃ est dérivable sur ]−ʹ,ͳ[ puis écrire ݃′ሺ�ሻ à l'aide de ݂′ሺ�ሻ et ݂ሺ�ሻ. c) En déduire le sens de variation de la fonction ݃ sur ]−ʹ,ͳ[. LYCEE SAID BOU BAKKER MOKNINE PROF: SALAH HANNACHI « �é�� Sciences techniques 3 » 2017/2018 DEVOIR DE CONTRÔLE 2 MATHEMATIQUES Le chemin vers le bac EXERCICE 3: (6 points) Soit ݂ la fonction définie sur [−ͳ,ͳ] par : ݂ሺ�ሻ= ሺͳ −�ሻ√ͳ −�ଶ 1) a) Etudier la dérivabilité de ݂ à droite en (-1) et à gauche en 1. b) Interpréter les résultats obtenus. 2) a) Montrer que ݂ est dérivable sur ]−ͳ,ͳ[ et que ݂′ሺ�ሻ= ʹ�ʹ−�−ͳ √ͳ−�ʹ pour tout −ͳ < �< ͳ b) Dresser le tableau de variation de ݂. En déduire un encadrement de ݂ሺ�ሻ. 3) On pose ݃ሺ�ሻ= ݂ሺ�ሻ−� pour tout �∈ [−ͳ,ͳ]. a) Montrer que l'équation ݃ሺ�ሻ= Ͳ admet une unique solution � dans l'intervalle ]Ͳ,ͳ[. b) En déduire que � est une solution dans IR de l'équation : �ସ−ʹ�ଷ+ �ଶ+ ʹ�−ͳ = Ͳ EXERCICE 4: (6 points) I/ 1) Résoudre dans ℂ l’équation (E) : �ଶ−ሺͳ + ͵�ሻ�+ ʹ�−ʹ = Ͳ 2) Le plan complexe étant muni d’un repère orthonormé (�, ݑ ⃗⃗, ݒ ⃗). On donne les points A, B et D d’affixes respectives : ͳ + � , ʹ + ʹ� et ʹ� a) Déterminer l'affixe du point C tel que ABCD soit un parallélogramme. b) Vérifier que z୆−z୅= −iሺzD −z୅ሻ c) En déduire que le parallélogramme ABCD est un carré. II/ On considère dans ℂ l’équation (��) : �ଶ−ሺͳ + ʹ�+ ��ሻ�+ ʹ�−ʹ��= Ͳ ; �∈[Ͳ, �] 1) a) Vérifier que �଴= ʹ� est une solution de l'équation (��) b) En déduire que l'autre solution de (��) est �ଵ= ͳ + �� 2) Dans le plan complexe défini précédemment on donne les points K et M d'affixes respectifs �K = � ʹ et �M = ͳ + ��. Déterminer la valeur de � pour laquelle la distance KM est minimale. uploads/s1/ devoir-de-controle-2 1 .pdf