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Page : 1 Contrôle N°1 MATHEMATIQUES 3ème M3 12 Novembre 2011 Durée = 2h Exercic

Page : 1 Contrôle N°1 MATHEMATIQUES 3ème M3 12 Novembre 2011 Durée = 2h Exercice N°1 ( 3 points) QCM Pour chaque question, une seule des trois propositions est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Avec justification . 1. Si ABCD est un carre de coté a > 0 alors DC.BD     a) - a2 b) a 2 c) - a 2 2. Si u  et v  deux vecteurs colinéaires, de sens contraire , u 2   et v 1   , alors 2 (u 3v)     a) 25 b) 13 c) 1 3. 3 1 1 lim 1 x x x     a) 6 b) 0 c) 1 4. Soit la fonction f définie sur [1 ,+∞[ par f (x) = 1 1 x  , on a : a) 0 est un minimum. b) 1 est un maximum. c) f est bornée Exercice N°2 (7 points) I). Soit f la fonction définie par ) (x f = x x x 2 1 1 2   1. a) Déterminer l'ensemble de définition de f. b) Etudier la continuité de f sur son ensemble de définition. 2. Montrer que f est prolongeable par continuité en 2 et donner son prolongement. II). Soit la fonction g définie sur IR par g ) (x =               1 si 1 2 1 1 si ) 1 1 ( 1 x x x x x x 1. Justifier la continuité de g en a = 2 , en b = 0 , sur ]- ∞ , 1[ et sur ]1 , +∞[. 2. a) Montrer que g est strictement décroissante sur [1;   [. b) Déduire que g est majorée sur [1;   [. 3. Montrer que g est strictement croissante sur]   ;1[. 4. a) Montrer que l'équation g ) (x = 0 admet une solution unique [0;1]. b) Donner un encadrement de  d'amplitude 0,5. c) Donner le signe de g sur IR . d) Vérifier que α vérifie l’équation 3 2 α 5α 8α 0     T.S.V.P 3 On admet que g est contiue sur[0,1]. Page : 2 Exercice N°3 (4 points) La courbe (Cf) ci-contre représente une fonction f définie sur [ -2,8] . 1. En utilisant le graphique : a) Déterminer f (3) et f (6) b) Déterminer les intervalles de ℝ où f est continue. c) Déterminer f ([ -2,2[ ) , f ( [2,6]) et f ( [6,8]) d) Résoudre dans [ -2,8] : f (x ) = 0 et f (x ) ≥ 0. 2. Soit g la fonction définie par . 1 g( )= ( ) x f x a) Déterminer l’ensemble de définition de g. b) Montrer que ( )-1 ( ) = ( ) 1 ( ) 1 g x g x f x f x    . c) En déduire 3 ( ) -1 lim ( ) 1 x g x f x   . Exercice N°4 (6 points) On considère un triangle ABC tel que AB = a > 0 , AC = 2a et  2 BAC= 3  1) Montrer que BC = a 7 2) Soit G le projeté orthogonal de C sur (AB). a. Calculer AB.AC    . En déduire AG. b. Montrer que G est le barycentre des points pondérés (A,2) et (B,-1). 3) Déterminer l’ensemble C des points M tels que MB 2 MA  . 4) Déterminer l’ensemble ∆ des points M tels que 2 2MA MB MA MB          . 5) Déterminer l’ensemble D des points M tels que 2 a MA.AB 2     . uploads/s1/ devoir-de-ctrl1.pdf