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P a g e 1 | 5 …………………………………Exercice n°1(4pts)…………………………………….. Pour chacune des

P a g e 1 | 5 …………………………………Exercice n°1(4pts)…………………………………….. Pour chacune des questions suivantes une seule des réponses proposées est exacte. 1).Soit ݂ la fonction définie sur ℝ par ݂(ݔ) = ݔଷ+ ݔ−1 .L’équation ݂(ݔ) = 0 admet une solution dans : a) [0 ;1] b) [1;2] c) [-2 ;-1] 2).Soit ݂ une fonction continue sur [2 ;5[ alors : a) ݂ est continue à gauche en 5 b) ݂ est continue en 2 c) lim ଶశ( ݂ )=݂(2) 3).L’ensemble de définition de la fonction ݂ :ݔ ↦ ିଷ௫ାହ (୉(௫))²ିହ est : a) ℝ b) ℝ \{5} c) ℝ \{-√5; √5} 4).Si A,B,C et D quatre points deux à deux distincts tels que AB ሬሬሬሬሬ⃗.AC ሬሬሬ ሬሬ⃗=AB ሬሬሬሬሬ⃗ .AD ሬሬሬሬሬ⃗, alors nécessairement : a) Cet D confondus b) AB ሬሬሬሬሬ⃗ ⊥CD ሬሬሬሬሬ⃗ c) AC ሬሬሬ ሬሬ⃗= AD ሬሬሬሬሬ⃗ …………………………………Exercice n°2 (6pts)…………………………………….. La courbe tracée dans l’annexe (page 3) représente une fonction ݂ définie sur[-2 , 7]. Par lecture graphique répondre aux questions suivantes : 1).a).Déterminer l’ensemble de continuité de ݂. b). Déterminer : ݂ (-2) ; lim ିଶశ(݂ ); ݂(0) ; lim ଴ష݂; lim ଴శ݂ ;f(3) ; lim ଷష(݂); lim ଷశ(݂) ; ݂(5) ;lim ହష(݂) ; lim ହశ(݂) et lim ଻ష(݂). 2).a). Déterminer f([-2 ; 0]) , f(]-1 ; 3]) , f([3 ; 5]) et f([-2 ; 7]) . Lycée Thelepte Niveau :3éme Math A.S :2015/2016 Devoir de contrôle n°1 date : 05/11/2015 Prof :MhamdiAbderrzek Mathematiques durée : 2h P a g e 2 | 5 b).Déterminer max(݂) et min (݂). 4).Soit g la restriction de ݂ à l’intervalle [-2 ;3] et h=|g| a). Déterminer les variations de g. b). Tracer C୦ la courbe de h à partir de C୥ la courbe de g .Expliquer. …………………………………Exercice n°3 (4pts)…………………………………….. On donne la fonction ݂ définie par ݂(ݔ) = ቐ ௫మାଶ௫ିଷ ௫ିଵ ݏ݅ ݔ∈]−∞; 1[ ௫మିଵ √௫మାଷିଶ ݏ݅ ݔ߳]1; +∞[ 1).a).Déterminer le domaine de définition de ݂. b).Vérifier que ݂ est continue sur son domaine de définition . 2).a). Calculer lim ௫→ଵష݂(ݔ) et lim ௫→ଵశ݂(ݔ). b). Déduire que ݂ est prolongeable par continuité en 1. c).Déterminer le prolongement par continuité F de ݂ en 1. …………………………………Exercice n°4 (6pts)…………………………………….. Soit ABC un triangle équilatéral de coté 4cm et G son centre de gravité. I = A * C et D le point vérifiant : BI 2 BD  . 1).a). Calculer : BC . BA b). Quelle est la nature du quadrilatère ADCB ? 2). Déterminer et construire l’ensemble  = { M࣪ / 5 MC . MA  } 3).a). Montrer que pour tout point M࣪ on a : 8 BD . MB MB MC . MA 2    b). En déduire l’ensemble  des points M du plan tel que : 0 8 MB MC . MA 2    4). Soit l’application ݂:࣪ ℝ 2 2 2 MC MB MA ) M ( f M     a).Montrer que pour tout point M ࣪ on a ݂ (M) = 3MG² + 16 b). Déterminer et construire l’ensemble ’ = { M࣪ / MA² + MB²+ MC² = 43 } Bon travail P a g e 3 | 5 Annexe à rendre avec la copie Nom :………………… Prénom :……………………… Classe :…………………… P a g e 4 | 5 Exercice n°1……………………………………………. 1 2 3 4 a c a b Exercice n°2……………………………………………. 1).a).L’ensemble de continuité de ݂est    2;7 \ 3;5  . b). Déterminer : ݂(−2) = −1 ; lim ିଶశ(݂ ) = 3 ; ݂(0) = −1 ;lim ଴ష݂= −1; lim ଴శ݂= −1 ; f(3) = 0 ; lim ଷష(݂) = 0; lim ଷశ(݂) = 2; ݂(5) = 1 ;lim ହష(݂) = 3 ; lim ହశ(݂) = −2 et lim ଻ష(݂) = −3 . 2).a).                     ( 2;7 ) 1;3 ; ( 1;3 ) 1;0 ; ( 3;5 ) 2;3 0;1 ; ( 2;7 ) 3; 2 1;3 f f f f           b).Déterminer max (݂) =3et min (݂)=-3. 4).a). g est décroissante sur   2;0  et croissante sur  0;3 . b). ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 g x si g x h x g x si g x      Exercice n°3……………………………………………. ૚). ࢇ).La fonction ݔ⟼ ௫మାଶ௫ିଷ ௫ିଵ est définie sur ℝ\{1} en particulier sur ]−∞; 1[. .La fonction ݔ⟼ ௫మିଵ √௫మାଷିଶ est définie sur ℝ\{-1 ;1} en particulier sur ]−∞; 1[. (car ݔଶ+ 3 ≥0 ∀ݔ∈ℝ et √ݔଶ+ 3 −2 ≠0∀ݔ∈ ℝ\{-1 ;1}) . ࢈). La fonction ݔ⟼ ௫మାଶ௫ିଷ ௫ିଵ est continue sur ℝ\{1}(fonction rationnelle) en particulier sur ]−∞; 1[. .La fonction ݔ⟼ ௫మିଵ √௫మାଷିଶ est continue sur ℝ\{-1 ;1} en particulier sur ]−∞; 1[. (car ݔଶ+ 3 ≥0 ∀ݔ∈ℝ et √ݔଶ+ 3 −2 ≠0∀ݔ∈ ℝ\{-1 ;1}et les fonctions ݔ⟼ݔଶ+ 3 et ݔ⟼√ݔଶ+ 3 −2 sont continues sur ]−∞; 1[) . 2).a).∗). ݈݅݉ ௫→ଵష݂(ݔ) = ݈݅݉ ௫→ଵష ݔ2+2ݔ−3 ݔ−1 = ݈݅݉ ௫→ଵష (ݔ−1)(ݔ+3) ݔ−1 = ݈݅݉ ௫→ଵష(ݔ+ 3) = 1 + 3 = ૝. ∗). ݈݅݉ ௫→ଵశ݂(ݔ)= ݈݅݉ ௫→ଵశ ݔ2−1 ඥݔ2+3−2 = ݈݅݉ ௫→ଵశ ൫ݔ2−1൯ቀඥݔ2+3+2ቁ ቀඥݔ2+3−2 ቁቀඥݔ2+3+2ቁ= ݈݅݉ ௫→ଵశ ൫ݔ2−1൯ቀඥݔ2+3+2ቁ ൫ݔ2−1൯ = ݈݅݉ ௫→ଵశ(√ݔଶ+ 3 + 2) = √1ଶ+ 3 + 2 =2+2=4. Lycée Thelepte Mathematiques A.S :2015/2016 Correction du Devoir de contrôle n°1 Niveau :3éme Math P a g e 5 | 5 b).On a ݂ est définie sur ℝ\{1} et lim ௫→ଵ݂(ݔ) = 4 (finie) ( lim ௫→ଵ݂(ݔ) = 4 car lim ௫→ଵష݂(ݔ) = lim ௫→ଵశ݂(ݔ) = 4). Donc ݂ est prolongeable par continuité en 1. c).La fonction ࡲ définie sur ℝ par ࡲ(ݔ) = ቄ݂(ݔ) ݏ݅ ݔ∈ℝ\{1} 4 ݏ݅ ݔ= 1 est le prolongement par continuité de ݂ en 1. Exercice n°4……………………………………………. 1).a).ܤܣ ሬሬሬሬሬ⃗. ܤܥ ሬሬሬሬሬ⃗=BA.BC.cos(ܤܣ ሬሬሬሬሬ⃗; ܤܥ ሬሬሬሬሬ⃗ ෣)=4.4. ଵ ଶ = 8. ࢈).On a I = A * C= B ∗ D et BC=BA alors ADCB est un losange. ૛). ܯܣ ሬሬሬሬሬሬ⃗. ܯܥ ሬሬሬሬሬሬ⃗=5 signifie IM²-IA²=5 signifie IM²=5+IA²=5+4=9 signifie IM=3 signifie Γ est le cercle de centre I et de rayon 3. ૜). ࢇ). ܯܣ ሬሬሬሬሬሬ⃗. ܯܥ ሬሬሬሬሬሬ⃗−ܯܤ²=(ܯܤ ሬሬሬሬሬሬ⃗+ ܤܣ ሬሬሬሬሬ⃗). (ܯܤ ሬሬሬሬሬሬ⃗+ ܤܥ ሬሬሬሬሬ⃗) −ܯܤ²=ܯܤ²+ܯܤ ሬሬሬሬሬሬ⃗. ܤܥ ሬሬሬሬሬ⃗+ܤܣ ሬሬሬሬሬ⃗. ܯܤ ሬሬሬሬሬሬ⃗+ܤܣ ሬሬሬሬሬ⃗. ܤܥ ሬሬሬሬሬ⃗−ܯܤ² =ܯܤ ሬሬሬሬሬሬ⃗. (ܤܥ ሬሬሬሬሬ⃗+ ܤܣ ሬሬሬሬሬ⃗)+ ܤܣ ሬሬሬሬሬ⃗. ܤܥ ሬሬሬሬሬ⃗=ܯܤ ሬሬሬሬሬሬ⃗. ܤܦ ሬሬሬሬ ሬሬ⃗+8 (car ܤܥ ሬሬሬሬሬ⃗+ ܤܣ ሬሬሬሬሬ⃗=ܤܦ ሬሬሬሬ ሬሬ⃗ (puisque ADCB est un parallélogramme) et ܤܣ ሬሬሬሬሬ⃗. ܤܥ ሬሬሬሬሬ⃗=8). b). ܯܣ ሬሬሬሬሬሬ⃗. ܯܥ ሬሬሬሬሬሬ⃗−ܯܤ²-8=0 signifie ܯܤ ሬሬሬሬሬሬ⃗. ܤܦ ሬሬሬሬ ሬሬ⃗+8-8=0 signifie ܯܤ ሬሬሬሬሬሬ⃗. ܤܦ ሬሬሬሬ ሬሬ⃗ =0 signifie ∆ est la perpendiculaire à (BD) en B. 4).a).݂(M)=MA²+MB²+MC²=(ܯܩ ሬሬሬሬሬሬ⃗+ ܩܣ ሬሬሬሬሬ⃗)² + (ܯܩ ሬሬሬሬሬሬ⃗+ ܩܤ ሬሬሬሬሬ⃗)² + (ܯܩ ሬሬሬሬሬሬ⃗+ ܩܥ ሬሬሬሬሬ⃗)²=MG²+2ܯܩ ሬሬሬሬሬሬ⃗. ܩܣ ሬሬሬሬሬ⃗+GA² + MG²+2ܯܩ ሬሬሬሬሬሬ⃗. ܩܤ ሬሬሬሬሬ⃗+GB²+ MG²+2ܯܩ ሬሬሬሬሬሬ⃗.ܩܥ ሬሬሬሬሬ⃗+GC²=3MG²+2ܯܩ ሬሬሬሬሬሬ⃗.(ܩܣ ሬሬሬሬሬ⃗+ܩܤ ሬሬሬሬሬ⃗+ܩܥ ሬሬሬሬሬ⃗)+GA²+GB²+GC². Or ܩܣ ሬሬሬሬሬ⃗+ܩܤ ሬሬሬሬሬ⃗+ܩܥ ሬሬሬሬሬ⃗=0 ሬ⃗ car G est le centre de gravité de ABC et GA=GB=GC= ଶ ଷ BI= ଶ ଷ. ସ√ଷ ଶ= ସ√ଷ ଷ (car G est le centre de gravité de ABC et ABC est un triangle équilatéral donc BI est une hauteur aussi). Alors on obtient GA²=GB²=GC²= ଵ଺ ଷ et par suite ࢌ(M)= 3MG²+16. b). MA²+MB²+MC²= 43 signifie 3MG²+16=43 signifie MG²=9 signifie MG=3 signifie Γ’est le cercle de centre G et de rayon 3. uploads/s1/ devoir-de-controle-n01 7 .pdf