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Devoir maison ( 15) Problème: On fixe dans le problème une fonction f: lR---+ R

Devoir maison ( 15) Problème: On fixe dans le problème une fonction f: lR---+ R quelconque. On considère l'ensemble: X1 = {y e R, VA e R, 3x A, f(x) = y). 1. Soit T > 0 fixé. On suppose que f est T-périodique. Montrer que x1 = f([O, T[). 2. On suppose maintenant que f est injective. Montrer que Xi= 0. 3. On suppose que lim f(x) = +co. Montrer que x1 = 0. X-++oo 4. On suppose que la fonction f admet une limite réelle l en +co. (a) Montrer que x1 c (l). (b) Montrer par des exemples que l'inclusion réciproque peut être vraie ou fausse. 5. On suppose que la fonction f est continue. Montrer que x, est un intervalle de 1R. Probleme : En fait Correction du D.M n°15 X1 {y E f(R), y admet des antécédents aussi grand que l'on veut} {y ER, VA E IR, r'({y}) n [A, +oo[,!: 0) l. Soit y E f([O, T[) alors 3x E [O, T[, y = f(x). De plus par périodicité de f, on a même r'({y}) = { x + nT, n E Z}. Comme x+nT-+ +oo lorsque n-+ +oo alors VA ER, r'((yl)n[A, +oo[,!: 0. On a donc j([O, T[) = f(R) c X1 C f(R) d'où l'égalité. 2. Si f est injective alors tout élément de f(R) admet exactement un antécédent . Il en découle que X1 = 0. 3. Soit Yo E f (R) comme lim f (x) = +oo alors x-+oo 3A ER, Vx ER, X> A=> f(x) > Yo, Parconséquentr1({yol) n [A+ 1,+oo[= 0d'oùyo X J, On a doncX1 = 0. 4. (a) Soit Yo * /. Posons 8 = IYo - li > O. On a lim f(x) = l d'où ..r---t+oo 3A E R, V x E R, x > A => f (x) E]I - 8, l + 8[ => f(x) * Yo d'où r1((yol) n [A+ 1,+oo[= 0. On a doncyo X1, On a donc X1 c Il). (b) • Si f(x) = - 2-1- + l alors lim f(x) = l mais l / f(R) d'où l / X1, X + 1 X---++oo • Si f(x) = l alors évidemment l E X1 car r'(l)) = R d'où X1 = {I}. 5. Si x1 = 0 alors il n'y a rien à montrer. Sinon, montrons que x1 est un ensemble convexe de R, il s'agira alors d'un intervalle non vide de R. Soient Yo,Y1 E X1 avec Yo :5 y, ety E [ yo,Yil, Montrons que y E X1, Soit A ER, comme Yo et Y1 sont des éléments de X1 alors 3Xo, x, E [A, +oo[, f(xo = Yo et j(xi) = Y1. On a f continue sur R et y E [j(xo), f(xi)], par le TVI il existe x E [xo, xi] ou [x1, xo ] c [A, +oo[ tel que y= j(x). On a bien r'((yl) n [A, +oo[ ,!: 0 pour tout A E IR, d'où y E X J, uploads/s1/ devoir-maison-15-mpsi.pdf