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DOCUMENTS MATHÉMATIQUES 5 , , ' SINGULARITES IRREGULIERES CORRESPONDANCE ET DOC

DOCUMENTS MATHÉMATIQUES 5 , , ' SINGULARITES IRREGULIERES CORRESPONDANCE ET DOCUMENTS Pierre Deligne Bernard Malgrange Jean-Pierre Ramis Société Mathématique de France 2007 Documents Mathématiques série dirigée par Pierre COLMEZ Secrétariat : Nathalie Christiaën Documents Mathématiques Société Mathématique de France Institut Henri Poincaré, 11, rue Pierre et Marie Curie 75231 Paris Cedex 05, France Tél : (33) 01 44 27 67 99 • Fax : (33) 01 40 46 90 96 revues©smf. ens. fr • http: / / smf. emath. fr/ © Société Mathématique de France 2007 Tous droits réservés (article L 122-4 du Code de la propriété intellectuelle). Toute représentation ou reproduction intégrale ou partielle faite sans le consentement de l'éditeur est illicite. Cette représentation ou reproduction par quelque procédé que ce soit constituerait une contrefaçon sanctionnée par les articles L 335-2 et suivants du CP/. ISSN 1629-4939 ISBN 978-2-85629-241-9 Directeur de la publication : Stéphane JAFFARD TABLE DES MATIÈRES Préface ................................................................. ix Introduction P. DELIGNE - Pourquoi un géomètre algébriste s 'intéresse-t-il aux connexions irrégulières ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 B. MALGRANGE - Quelques souvenirs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 J .-P. RAMIS - Singularités irrégulières : des estimations Gevrey aux théories de Galois, un itinéraire naturel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Correspondance P. Deligne à N. Katz, 1er décembre 1976 ................................ 15 P. Deligne à B. Malgrange, 16 décembre 1976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 P. Deligne à B. Malgrange, 22 août 1977 ............ : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 P. Deligne à B. Malgrange, 19 avril 1978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 J.-P. Ramis à B. Malgrange, 23 octobre 1978 ............................ 27 J.-P. Ramis à B. Malgrange, 5 avril 1979 ................................ 29 Ph. Robba à B. Malgrange, 18 mai 1979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 B. Malgrange à J.-P. Ramis, 14 juin 1979 ............................... 33 J.-P. Ramis à B. Malgrange, 20 juin 1979 ............................... 35 P. Deligne à B. Malgrange, 20 décembre 1983 ........................... 37 P. Deligne à B. Malgrange, 8 mai 1984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 P. Deligne à V.S. Varadarajan, 4 janvier 1986 ........................... 47 vi TABLE DES MATIÈRES P. Deligne à J .-P. Ramis, 7 janvier 1986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 P. Deligne à J.-P. Ramis, 25 février 1986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 P. Deligne à J.-P. Ramis, 28 février 1986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 B. Malgrange à J.-P. Ramis, 17 avril 1988 ............................... 65 B. Malgrange à J.-P. Ramis, 28 avril 1988 ............................... 69 J.-P. Ramis à B. Malgrange, 15 novembre 1990 ......................... 71 B. Malgrange à J.-P. Ramis, 20 novembre 1990 J.-P. Ramis à B. Malgrange, 23 novembre 1990 73 77 B. Malgrange à P. Deligne, 26 avril 1991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 P. Deligne à B. Malgrange, 30 avril 1991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 B. Malgrange à Y. Sibuya, 6 mai 1991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 P. Deligne à A. Dimca, 2 décembre 1991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 B. Malgrange à A. Fruchard & R. Schafke, 28 mars 1996 ................ 89 B. Malgrange à R. Garda L6pez, 21 mai 2002 ........................... 93 Textes B. MALGRANGE - Sur la réduction formelle des équations différentielles à singularités irrégulières (mars 1979) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Introduction .......................................................... 97 1. Le polygone de Newton d'une équation différentielle . . . . . . . . . . . . . . . 98 2. Décomposition suivant le polygone de Newton ..................... 99 3. Cas d'une seule pente : l'équation déterminante .................... 102 4. La forrfie réduite ................................................... 104 Références ............................................................ 106 P. DELIGNE - Théorie de Hodge irrégulière (version originelle, mars 1984) ................................................................... 109 P. DELIGNE - Théorie de Hodge irrégulière (août 2006) .............. 115 J.-P. RAMIS - Filtration de Gevrey sur le groupe de Picard- Vessiot d'une équation différentielle irrégulière (juin 1985) ........................... 129 1. Quelques remarques sur la k-sommabilité .......................... 130 . 2. Phénomène de Stokes à plusieurs niveaux de sommabilité .......... 135 3. Quelques généralités sur les corps différentiels ..................... 140 4. Calcul du groupe de Picard-Vessiot et de sa filtration de Gevrey ... 142 Références .................... ·~ ...................................... 151 DOCUMENTS MATHÉMATIQUES 5 TABLE DES MATIÈRES vii J .-P. RAMIS - Construction de bases privilégiées et semi-canoniques (mars 1988) ............................................................ 155 Références ............................................................ 160 Notes Notes sur la correspondance et les textes ......................... 163 Références pour les Notes ........................................... 181 SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 2007 PRÉFACE Les lettres qu'on trouvera dans ce recueil couvrent la période 1976-1991 (à deux exceptions près : 1996 et 2002). Le thème général est l'étude des sin- gularités irrégulières des équations différentielles linéaires : irrégularité, déve- loppements asymptotiques, faisceau de Stokes, analogues Gevrey, problèmes de modules, multisommabilité, Galois et 7r1 sauvage, et (de façon moins centrale) cycles évanescents et Fourier. Il s'agit pour l'essentiel d'une correspondance entre Pierre Deligne, Bernard Malgrange et Jean-Pierre Ramis, mais certaines lettres ont d'autres destinataires ou expéditeurs. Quatre textes ont été adjoints à ces lettres. Tout comme elles, ils avaient connu à l'époque une diffusion-par voie de photocopies, mais n'avaient jamais été publiés. La plus grande partie des lettres et textes a été rassemblée par Bernard Malgrange au printemps 2005 et a été saisie par Mme Arlette Guttin-Lombard (Institut Fourier, Grenoble), Mme Marielle Randria-Riou et M. Florent Arnaud (SMF, Paris), que nous remercions; nous remercions aussi Mme Dottie Phares (IAS, Princeton) pour la saisie de certains textes. À des modifications orthographiques ou typographiques mineures près, ces documents ont été reproduits tels quels. Les commentaires et corrections éven- tuels des auteurs et de leurs correspondants sont rassemblés sous forme de notes en fin de volume, à l'exception du texte de Pierre Deligne sur la théorie de Hodge irrégulière, dont une nouvelle version accompagne la version origi- nelle. Ces notes sont indiquées dans le corps du volume par des chiffres de renvois dans la marge. Mars 2007 D. Bertrand & C. Sabbah X PRÉFACE L'initiative de ce volume est due à Daniel Bertrand. Les auteurs le remer- cient, ainsi que Claude Sabbah, pour leur participation à sa mise au point. DOCUMENTS MATHÉMATIQUES 5 Mai 2007 P. Deligne, B. Malgrange & J.-P. Ramis INTRODUCTION Documents Mathématiques 5, 2007, p. 1-2 POURQUOI UN GÉOMÈTRE ALGÉBRISTE S'INTÉRESSE-T-IL AUX CONNEXIONS IRRÉGULIÈRES? par Pierre Deligne Vers 1970, je regardais les fibrés vectoriels à connexion à singularités irré- gulières, comme «pathologiques ». Je n'en suis revenu qu'après avoir uploads/s1/ documents-mathematiques-5-deligne-pierre-malgrange-bernard-ramis-jean-pierre-singularites-irregulieres-smf-2007.pdf