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Lycée IBN KHALDOUN- Radès Mr ABIDI Farid Devoir de contrôle n°1 4ème M Durée :

Lycée IBN KHALDOUN- Radès Mr ABIDI Farid Devoir de contrôle n°1 4ème M Durée : 2 heures 29 octobre 2009 Page 1 - 2 Exercice 1: ( 3 points) Pour chaque question, répondre par Vrai ou Faux. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapport 0,5 point ; une réponse inexacte enlève 0,5 points ; l’absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à 0. 1. Si xlim f(x)   et si pour tout x < 1, on a g(x) 2x 1 x    alors xlim g f(x)   . 2. Soit f une fonction paire définie sur telle que  xlim f x ,    , alors   xlim f x   . 3. Si pour tout x réel strictement négatif, on a :  1 f x 3 x   alors  xlim f x 3   . 4. Soit f la fonction définie et continue sur * dont le tableau des variations est : x -3 0 2 4 f(x) 5 1 1 -3 L’image de l’intervalle [-2, 3] par f est [-3, 5]. 5. Si f est une fonction définie sur et dont la courbe représentative admet , dans un repère du plan, pour asymptote au voisinage de  la droite d’équation y = - x + 1 alors  xlim f x  . 6. Soit la fonction f définie sur [0, 1] par f(x) = x 2 x 1  . Pour tout x de [0, 1], le réel  f f x x  . Exercice 2: ( 7 points) On note, pour tout entier naturel n 3  ,   n E l’équation 3 2 x n x 1   . 1. Etudier les variations de la fonction f définie sur   2, par f(x) = 3 2 x x 1 . 2. Montrer que pour tout entier n , n 3 , l’équation   n E possède une unique solution , notée n x , sur l’intervalle   2,. 3. Quelle est la monotonie de la suite   n x ? 4. Montrer que, pour tout entier n 3  , n n 1 x n   . 5. En déduire la limite de la suite   n x puis de la suite de terme général n x n . 6. Donner une valeur approchée de 3 x par défaut à près 1 10. Exercice 3: (5 points) On considère , dans l’ensemble * des nombres complexes non nuls , l’équation (E) :   3 z 2 2i 3 z  . 1. Ecrire sous forme exponentielle le nombre complexe u 2 2i 3  . 2. On pose i z re   où r est un réel strictement positif et un réel de l’intervalle   0,2. a) Montrer que l’équation (E) est équivalente à l’équation 4 i 2 i4 3 r e 4e   . b) En déduire que l’équation (E) admet, dans *, quatre solutions que l’on donnera sous forme exponentielle. 3. Le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct   O,u,v . On note A , B , C et D les images des solutions de (E) d’arguments respectifs A B C D , , et    vérifient A B C D        . a) Placer les points A, B , C et D. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? b) Soit E le milieu du segment [AD]. Ecrire l’affixe E z de E sous forme exponentielle et sous forme algébrique. c) En déduire les valeurs exactes de cos et sin 12 12   . Exercice 4: (5 points) Le plan est rapporté au repère orthonormé direct   O,u,v (d’unité graphique 2cm). On considère les points E et F d’affixes respectives E F 1 i z 1 i et z 2    . 1. Ecrire E F z et z sous forme exponentielle. 2. Montrer que pour tout   de 0,  , le point M d’affixe 2i z e   appartient au cercle () de centre O et de rayon 1. 3. Montrer que pour tout M de (), 4i 2i 3 1 EM FM e 1 i e 2 2             . 4. a) Montrer que pour tout   de 0,  , 4i i2 e 1 2cos2 .e     . b) En déduire que 2 1 3 EM FM 2cos2 4 2            . 5. a) Montrer que pour tout réel   de 0,  , 2 1 1 3 25 2cos2 4 4 2 2            . b) Déterminer l’affixe 0 z du point 0 M correspondant à la valeur maximale de EM FM.  Placer le point 0 M page 2 - 7 Lycée IBN KHALDOUN - RADES © www.mathsecondaire.net Mr ABIDI Farid Devoir de contrôle n°1 - Oct 2009 4M Solution Exercice 1: ( 3 points) 1. Faux En effet : Si xlim f(x)   et si pour tout x < 1, on a g(x) 2x 1 x    alors   2 x x x 1 1 lim g(x) lim 2 x x 1 lim x 2 x 1 x x                            x Donc lim g f(x)   . 2. Faux En effet : Si f est une fonction paire définie sur telle que  xlim f x ,    , alors    x x lim f x lim f x      . 3. Vrai Si pour tout x réel strictement négatif, on a :  1 f x 3 x   , on a x 1 lim 0 x   alors  xlim f x 3  . 4. Vrai En effet : ([-2, 3]) = [-3, 5]. 5. Vrai Comme la droite d’équation y = -x + 1 est une asymptote à la courbe représentative de f au voisinage de  alors  x x lim f x lim x 1     . 6. Vrai Soit la fonction f définie sur [0, 1] par f(x) =   2 x 2 x 1 1 x    . Pour tout x de [0, 1], le réel              2 2 2 f f x f f x 1 f x 1 1 x x x         . Exercice 2: ( 7 points) On note, pour tout entier naturel n 3  ,   n E l’équation 3 2 x n x 1   . 1. 3 3 2 2 x x x x x lim lim lim x x 1 x        . f est continue et dérivable sur   2,et pour tout x de   2,, on a :            2 2 3 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 3x x 1 2x.x x x 3 x 3x f x 0 x 1 x 1 x 1             . Mr ABIDI Farid Devoir de contrôle n°1 - Oct 2009 4M page 3 - 7 Lycée IBN KHALDOUN - RADES © www.mathsecondaire.net x 2  f(x)  8 3 2. Soit n 3 . f est continue et strictement croissante sur   2, ,     8 f 2, , 3          et 8 n , 3         . Donc l’équation   n E admet sur l’intervalle une unique solution n x . Etudier les variations de la fonction f définie sur   2, par f(x) = 3 2 x x 1 . 3. On a pour tout n 3 ,     n n 1 f x n et f x n 1    . Donc     n 1 n f x f x   . Et comme f est strictement croissante sur   2,alors nécessairement n 1 n x x  . Ainsi la suite   n x est croissante. 4. Pour tout entier n 3  , On a :   uploads/s1/ exercice-1-devoir-de-controle-n01-4-m.pdf