1 Corrigé des exercices Réponse aux questions 1- L’équation de conservation de

1 Corrigé des exercices Réponse aux questions 1- L’équation de conservation de l’électricité est donnée par: 0 ) ( = ∂ ∂ + t J div ρ r 2- La polarisation d'une onde radioélectrique est le plan dans lequel varie le champ électrique qui la compose. 3- Le système d’équations de Maxwell dans le cas d’un milieu parfaitement diélectrique:          = = ∂ ∂ = ∂ ∂ − = 0 ) ( 0 ) ( ) ( ) ( B div D div t D H t ro t B E t ro r r r r r r r r Le système d’équations de Maxwell seul ne suffit pas pour résoudre tout problème d’électromagnétisme. Il faut ajouter les conditions initiales et les conditions aux limites. 4- Expression des champs D r et H r en fonction des potentiels vecteur A r et scalaire V: t A V d gra D ∂ ∂ − − = r r r . ) ( . ε ε ) ( . 1 A t ro H r r r µ = 5- L'expression mathématique du vecteur de Poynting est: H E P r r r ∧ = Le vecteur de Poynting permet de calculer le flux de puissance par unité de surface transportée par l'onde électromagnétique. 6- Aux grandes distances l'expression du champ électrique pour un doublet vertical r j e dl i r j E β θ λ π θ − − = ). sin( . . . 60 ) ( 2 Solution des exercices Exercice 1 Pour un milieu donné, on a:          = = ∂ ∂ = ∂ ∂ − = 0 ) ( 0 ) ( ) ( ) ( 0 0 B div E div t E B t ro t B E t ro r r r r r r r r µ ε Or:   =   = 0   =    +    +    = 0 D'où:   = 0 (1) D'autre part: t B E t ro ∂ ∂ − = r r r ) (   =    +    +    = 0    −   =            −   = −     −   = −     −   = −  D'où:   =    (2)   = −    (3)    = 0 (4) Avec   = 0 , on obtient:   =    +    +    = 0 et    = 0 (5) Avec t E B t ro ∂ ∂ = r r r 0 0 ) ( µ ε , on obtient:        −   = 0 0µ ε      −  = 0 0µ ε      −  = 0 0µ ε    d'où:    = − 0 0µ ε   (6) 3    = 0 0µ ε   (7)   = 0 (8) (1) et (8) →Ez est indépendante de z et t → Ez est constante (4) et (5) →Bz est indépendante de z et t → Bz est constante On peut doit choisir Ez=0 et Bz=0 Exercice 2 Pour la surface fermée, on choisit une sphère de rayon r. Pour trouver la puissance totale rayonnée, la composante radiale de la densité de puissance est intégrée à travers toute la surface. o o o o S r A d d r r A dS P W . . ). sin( . . ) ( sin . . 2 2 2 2 π ϕ θ θ θ π π =         = = ∫∫ ∫∫ 2. ϕ θ θ ϕ θ ϕ θ π π π π d d U d U Wr . ). sin( . ) , ( . ) , ( 2 0 0 2 0 0 ∫∫ ∫∫ = Ω = Or : ) ( sin . . ) ( sin . . ) , ( 2 2 2 θ θ ϕ θ o o A r r A r P U = = = Donc : o o r A d d A d d U d U W . . . ). ( sin . . ). sin( . ) , ( . ) , ( 2 2 0 0 2 2 0 0 2 0 0 π ϕ θ θ ϕ θ θ ϕ θ ϕ θ π π π π π π = = = Ω = ∫∫ ∫∫ ∫∫ Exercice 3 On a : ) ( sin . θ o A U = Le maximum de rayonnement est obtenu pour 2 / π θ = . Ainsi, o A U = max . D’autre part, nous avons déjà calculé : o r A W . 2 π = . On obtient: 27 . 1 4 4 max max max = = = = π π r I W U U U D Exercice 4 L’intensité de rayonnement est donnée par : ) ( sin . . 2 2 θ o r A P r U = = Le maximum de rayonnement est selon la direction 2 / π θ = . Ainsi, o A U = max . La puissance totale rayonnée est donnée par : 4       = = Ω = ∫∫ ∫∫ 3 8 . . ) sin( . ) ( sin . . ) , ( 2 0 0 2 0 2 0 π ϕ θ θ θ ϕ θ π π π π o o r A d d A d U W La directivité est donnée par : 2 3 ) .( 3 8 4 . 4 max max max = = = = o o r I A A W U U U D π π π Exercice 5 Soit un doublet vertical isolé dans l’espace et dont la longueur est demi - onde. Sa fonction caractéristique est : θ θ π θ sin ) cos . 2 cos( ) ( = F . A- Calculons son gain absolu Go suivant les directions : ° = 50 , 40 , 30 , 20 , 10 , 0 θ sachant que : r o R F G ) ( . 120 2 θ = et 2 2 2 . 80 dl Rr λ π = Ω ≈ = = = 2 . 197 . 20 2 . 80 . 80 2 2 2 2 2 2 2 2 π λ λ π λ π dl Rr ) (° θ 0 10 20 30 40 50 ) (θ F 0 0.1374 0.2765 0.4178 0.5589 0.6946 o G 0 0.0115 0.0465 0.1062 0.1901 0.2936 B- Traçons son diagramme de rayonnement pour les mêmes angles Exercice 6 Ce gain est calculé selon la direction θ suivante : On sait que : r eff o W r E G . 30 ). ( 2 2 θ = , ) sin( . . . 120 ) ( θ λ π θ dl I r E eff eff = et 2 2 2 2 . . 160 dl I W eff r λ π = 5 D’où : ) ( sin . 3 ) ( sin . 48 144 . . 160 . 30 ). ( sin . . . ) ( 14400 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 θ θ λ π θ λ π ≈ = = r eff eff o dl I r dl I r G ° ± = ⇒ ± = ⇒ = = 30 5 . 0 ) sin( 25 . 0 3 75 . 0 ) ( sin 2 θ θ θ uploads/s1/ exercices-corriges 2 .pdf

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  • Publié le Oct 15, 2021
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