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Tronc Commun Série 1 : Etude de Fonctions 2) ] ] ( ) 2 ,0 ; 5 I f x x = −∞ = −

Tronc Commun Série 1 : Etude de Fonctions 2) ] ] ( ) 2 ,0 ; 5 I f x x = −∞ = − 3) ( ) 2 ; 1 I f x x + = = + ℝ *** Corrigé de l’exercice 1 : a. ( ) 2 4 5 f x x x = + − f D = ℝ ( car f est une fonction polynôme) b. ( ) 2 1 x f x x + = { } { } ] [ ] [ / 0 0 ,0 0, f D x x = ∈ ≠ = − = −∞ ∪ +∞ ℝ ℝ c. ( ) 2 3 9 x f x x = − { } ( )( ) { } { } { } { } ] [ ] [ ] [ 2 / 9 0 / 3 3 0 / 3 0 3 0 / 3 3 3,3 , 3 3,3 3, f D x x x x x x x et x x x et x = ∈ −≠ = ∈ − + ≠ = ∈ −≠ + ≠ = ∈ ≠ ≠− = −− = −∞− ∪− ∪ +∞ ℝ ℝ ℝ ℝ ℝ d. ( ) 2 1 f x x = + { } 2 / 1 0 f D x x = ∈ + ≥ = ℝ ℝ ( car pour tout x de ℝ, on a : 2 1 0 x + > ) e. ( ) 2 5 f x x x = + + { } 2 / 5 0 f D x x x = ∈ + + ≥ ℝ Etudions le signe su polynôme 2 5 x x + + : On a : ( )( ) 2 1 4 1 5 19 0 ∆= − =− < D’où : f D = ℝ f. ( ) 1 1 f x x x = + − Tronc Commun Série 1 : Etude de Fonctions { } { } [ [ ] [ / 0 1 0 / 0 1 0,1 1, f D x x et x x x et x = ∈ ≥ −≠ = ∈ ≥ ≠ = ∪ +∞ ℝ ℝ g. ( ) 2 2 f x x x = − − { } 2 / 2 0 f D x x x = ∈ −−≥ ℝ Etudions le signe su polynôme 2 2 x x −− : On a : ( ) ( )( ) 2 1 4 1 2 9 0 ∆= − − − = > ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 9 1 9 , 2 1 2 1 1 , 2 x x x x −− − −− + = = =− = Donc : ] ] [ [ , 1 2, f D = −∞−∪ +∞ h. ( ) 3 2 f x x = − − { } { } ] ] / 2 0 / 2 ,2 f D x x x x = ∈ −≥ = ∈ ≤ = −∞ ℝ ℝ i. ( ) 2 2 1 6 5 x f x x x + = − + { } 2 / 6 5 0 f D x x x = ∈ − + > ℝ Etudions le signe su polynôme 2 6 5 x x − + : On a : ( ) ( )( ) 2 6 4 1 5 16 0 ∆= − − = > ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 6 16 6 16 , 2 1 2 1 1 , 5 x x x x −− − −− + = = = = Donc : ] [ ] [ ,1 5, f D = −∞ ∪ +∞ j. ( ) 1 2 f x x = − { } { } ] [ ] [ / 2 0 / 2 ,2 2, f D x x x x = ∈ −≠ = ∈ ≠ = −∞ ∪ +∞ ℝ ℝ Tronc Commun Série 1 : Etude de Fonctions Corrigé de l’exercice 2 : ( ) 2 2 f x x x = + − f D = ℝ ⊳ On a : ( ) 0 2 f = − donc ( ) ( ) 0,0 f O C ∉ ⊳ On a : ( ) 0 2 f = − donc ( ) ( ) 0, 2 f A C − ∈ ⊳ On a : ( ) 2 0 f − = donc ( ) ( ) 2,0 f B C − ∈ ⊳ On a : ( ) 1 0 f = donc ( ) ( ) 1,1 f C C ∉ ⊳ On a : ( ) 2 4 f = donc ( ) ( ) 2,7 f D C ∉ ⊳ On a : ( ) 1 0 f = donc ( ) ( ) 1,0 f E C ∈ Corrigé de l’exercice 3 : ⊳ ( ) 3 2 f x x x x = − + f D = ℝ Soit x ∈ℝ, on a : o x −∈ℝ o ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 2 2 2 f x x x x x x x x x x f x − = −− + − − = − = −− + = − Donc pour tout x ∈ℝ, on a : ( ) ( ) x f x f x  −∈     − =−   ℝ D’où f est une fonction impaire. ⊳ ( ) 4 3 f x x x = − f D = ℝ Soit x ∈ℝ, on a : o x −∈ℝ o ( ) ( ) ( ) 4 4 3 3 f x x x x x f x − = − − − = − = Donc pour tout x ∈ℝ, on a : ( ) ( ) x f x f x  −∈     − =−   ℝ D’où f est une fonction paire. Tronc Commun Série 1 : Etude de Fonctions ⊳ ( ) 3 2 5 2 f x x x = − + − f D = ℝ o ( ) 2 8 f = − o ( ) 2 4 f − = o ( ) 2 8 f − = Puisque ( ) ( ) 2 2 f f − ≠ alors f n’est pas paire Puisque ( ) ( ) 2 2 f f − ≠− alors f n’est pas impaire Corrigé de l’exercice 4 : 1) Soient a et b deux éléments de ℝ, tels que a b < : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 4 3 4 3 3 3 f a f b a b a b a b − = − − − = − = − Puisque a b < alors 0 a b −< Donc ( ) 3 0 a b − < Donc ( ) ( ) 0 f a f b − < Donc ( ) ( ) f a f b < Et par suite f est strictement croissante sur ℝ. 2) Soient a et b deux éléments de ] ] ,0 −∞ , tels que a b < : On a a b < Donc 2 2 a b > ( car a et b sont négatifs ) Donc 2 2 a b − <− Donc 2 2 5 5 a b − < − Donc ( ) ( ) f a f b < Et par suite f est strictement croissante sur ] ] ,0 −∞ . 3) Soient a et b deux éléments de + ℝ, tels que a b < : On a a b < Donc a b < Donc 1 1 a b + < + Donc 1 1 1 1 a b > + + Tronc Commun Série 1 : Etude de Fonctions Donc 2 2 1 1 a b > + + Donc ( ) ( ) f a f b > Et par suite f est strictement décroissante sur + ℝ. つづく uploads/s1/ generalites-sur-les-fonctions-corrige-serie-d-exercices-4.pdf