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NOUVEAU PROGRAMME NOUVEAU PROGRAMME ISBN : 978-2-01-181901- 7 5 © Hachette Livr

NOUVEAU PROGRAMME NOUVEAU PROGRAMME ISBN : 978-2-01-181901- 7 5 © Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit. 1 Introduction à la propagation d’ondes : ondes sonores longitudinales dans une tige solide PC-PSI Le phénomène de propagation d’ondes est un phénomène très général. Son importance pratique est considérable, car il est à la base de nombreux cas de transmission d’informations. Nous sommes confrontés à certains d’entre eux de façon quotidienne : propagation du son, de la lumière, d’ondes radio, ... Nous décrirons dans cet ouvrage quelques cas physiques où le phénomène de propagation se manifeste. Dans ce chapitre, nous l’aborderons à l’aide d’un modèle élémentaire : la chaîne d’oscillateurs couplés. ■Conséquences d’un couplage d’oscilla- teurs. ■Étude en régime libre et en régime forcé. ■Première approche du phénomène de propagation. ■Oscillateurs mécaniques à une variable d’état. ■Régimes libre et forcé. 6 © Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit. Ondes 1 1.1. Oscillations libres d’un système à un degré de liberté 1.1.1. Oscillateur harmonique Considérons un système à un seul degré de liberté, pour lequel nous noterons ^ la grandeur évoluant au cours du temps. La grandeur ^ peut désigner un déplacement, un angle, un courant électrique, une tension, une charge, etc. Si ce système possède une position d’équilibre stable au voisinage de laquelle l’équation d’évolution de ^ est de la forme : nous observons des oscillations harmoniques de pulsation du type : Cette situation n’est généralement qu’une modélisation de la réalité. L’équation d’évolution linéaire n’est souvent qu’une approximation corres- pondant à une linéarisation de l’équation réelle d’évolution de ^, au voisinage de l’équilibre stable Dans certains cas, l’équation réelle n’est pas linéaire, même pour de petits mouvements. La solution obtenue correspond à un mouvement perpétuel. En pratique, nous rencontrerons des situations mettant en jeu des termes dissipatifs tels que des frottements ﬂuides. Cette solution n’est alors acceptable que pour des temps d’observation des oscillations période faibles devant le temps caractéristique d’amortissement. Ceci suppose un facteur de qualité élevé pour l’oscillateur étudié. 1.1.2. Oscillateur mécanique à rappel linéaire Considérons un mobile, de masse M, lié par un ressort de raideur K, astreint à glisser sans frottements le long d’une tige horizontale (doc. 1). La position au repos, pour laquelle la longueur du ressort est étant prise comme origine de l’axe le déplacement du mobile par rapport à cette position d’équi- libre est Dans le référentiel d’étude supposé galiléen, l’équation du mouvement est : qui conduit à des oscillations harmoniques de pulsation 1.1.3. Oscillateur électrique Le document 2 représente l’équivalent électrique de l’oscillateur mécanique du document 1 : la masse M et la constante de raideur K sont remplacées res- pectivement par une inductance L et l’inverse d’une capacité C. L’application de la loi des mailles au circuit nous donne : avec Doc. 1. Oscillateur mécanique. a. En équilibre. b. Hors équilibre. a0 a0 +^ ^ x x a) b) Oscillations libres d’oscillateurs couplés L’étude de ce chapitre (explicitement au programme des sections PC et PSI) est conseillée pour tous les étudiants : il met en évidence l’approximation des ilieux continus à partir de la chaîne inﬁnie d’oscillateurs harmoni- ques couplés, et ainsi l’équation de l’Alembert. ^ ^0 , = d2^ dt2 - - - - - - - - - _ – 0 2(^ ^0 – ) = , _0 ^(t) ^0 ^m cos(_0t \ + ) . + = ^ ^0 . = de ⎝ ⎛ T 2V _0 - - - - - - -⎠ ⎞ = a0 , Ox ( ), ^ t ( ). M d2^ dt2 - - - - - - - - - K – ^ = _0 K M - - - - - . = Doc. 2. Oscillateur électrique. L i –q q C L di dt - - - - - q C - - - - + 0 = i + dq dt - - - - - - . = 7 © Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit. 1. Introduction à la propagation d’ondes : ondes sonores longitudinales dans une tige solide (PC-PSI) L’évolution de la charge q est régie par l’équation différentielle : où est l’analogue de la pulsation de l’oscillateur mécanique : 1.2. Oscillations libres d’un système à deux degrés de liberté Étudions maintenant les conséquences de l’introduction d’un couplage entre deux oscillateurs semblables au précédent. 1.2.1. Couplage de deux oscillateurs Considérons le système représenté sur le document 3 : deux mobiles iden- tiques de masse M glissent sans frottements le long de l’axe En l’absence de ressort central, les deux mobiles, liés aux parois ﬁxes par les ressorts de raideur K et longueur à vide constituent des oscillateurs indé- pendants, de même pulsation Écrivons les forces subies par les mobiles de la part des ressorts, en tenant compte du ressort central, de raideur k et longueur à vide et en choisissant l’origine O au niveau de la paroi de gauche. Le premier mobile est ainsi soumis aux forces : et et le second à : et Les équations d’évolution sont donc : Notons et les déplacements des deux mobiles par rapport à leur position à l’équilibre d’abscisses respectives et Les équations d’évolution deviennent : Le ressort central introduit un couplage entre les deux mobiles : les mouve- ments des deux masses ne sont plus indépendants. 1.2.2. Solutions des équations du mouvement Pour ce système différentiel « symétrique », le changement de variables : et appelées coordonnées normales, permet d’obtenir les équations découplées : q ˙˙ E0 2q + 0 , = E0 1 LC - - - - - - - - - - - - = _0 K M - - - - - . = Doc. 3. Exemple de couplage entre deux oscillateurs identiques. a. Indépendants. b. Couplés. L K K oscillateur 1 oscillateur 2 a) x1 = x10 +ψ couplage K oscillateur 1 oscillateur 2 b) K O k x 1 x2 = x20 +ψ2 Ox ( ). a0 , _0 K M - - - - - . = b0, F1 K(x1 – a0) ex – = f 1 k (x2 x1) – b0 – ( )ex , = f 2 f 1 – = F 2 K (L x2) – a0 – ( )ex. = Mx ˙˙1 K(x1 a0) – – k(x2 x1 b0) – – + = Mx ˙˙2 k(x2 x1 – b0) – – K(L x2 a0) – – + = ⎩ ⎨ ⎧ ^1 x1 x10 – = ^2 x2 x20 – = x10 x20, M^ ˙˙1 K^1 – k(^1 ^2) – – = M^ ˙˙2 k(^1 ^2) – K^2 – = ⎩ ⎨ ⎧ u ^1 ^2 + = v ^1 ^2 , – = Mu ˙˙ Ku – = Mv ˙˙ (K – 2k)v + = ⎩ ⎨ ⎧ 8 © Hachette Livre – H Prépa / Ondes, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit. Ondes dont les solutions et oscillantes, sont de la forme : ou où les pulsations et sont Connaissant les positions et les vitesses initiales des deux mobiles : et nous déterminons complètement et qui s’écrivent : Application 1 u(t) v(t) u(t) um (_1t b1) + cos = v(t) vm (_2t b2) + cos = ⎩ ⎨ ⎧ u(t) A cos _1t B sin _1t + = v(t) C cos _2t D sin _2t + = ⎩ ⎨ ⎧ _1 _2 _1 K M - - - - - = _2 K 2k + M - - - - - - - - - - - - - - - - = ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧ ^1 0 ( ), ^2 0 ( ), d^1 dt - - - - - - - - - ⎝ ⎠ ⎛ ⎞0 ( ) d^2 dt - - - - - - - - - ⎝ ⎠ ⎛ ⎞0 ( ) , ^1 t ( ) ^2 t ( ) ^1(t) um 2 - - - - - - (_1t b1) + cos vm 2 - - - - - - (_2t b2) + cos + = ^2(t) um 2 - - - - - - (_1t b1) + cos = vm 2 - - - - - - (_2t b2) + cos – ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ Analogie électromécanique 1) Montrer que le schéma électrique (doc. 4) modélise un système électrique couplé analogue à celui des deux oscillateurs mécaniques précédents. 2) Résumer par un tableau les correspondances entre les grandeurs relatives aux oscillateurs électriques et mécaniques. 1) Comme au § 1.1.3, nous avons construit (doc. 4) un analogue du système [K-M-k-M-K] sous la forme [C-L- -L-C]. Doc. 4. Oscillateurs électriques couplés. Les équations d’évolution du système sont : avec et À l’équilibre et les charges des con- densateurs, notées et vériﬁent : La loi des nœuds et la conservation de la charge montrent que la charge totale uploads/s1/ h-prepa-ondes-2e-annee-mp-mp-pc-pc-psi-psi-pt-pt.pdf