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BLAISE PASCAL PT 2020-2021 Chapitre 2 – Mécanique des ﬂuides Version prof Descr

BLAISE PASCAL PT 2020-2021 Chapitre 2 – Mécanique des ﬂuides Version prof Description des écoulements Plan du cours I Deux approches pour décrire un écoulement 3 I.1 Description lagrangienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 I.2 Description eulérienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 I.3 Écoulement stationnaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 I.4 Représenter le champ des vitesses d’un écoulement stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 II Débits 6 II.1 Débit massique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 II.2 Débit volumique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 II.3 Conservation du débit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 III Viscosité 13 III.1 Force surfacique de viscosité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 III.2 Écoulements parfaits ou visqueux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 III.3 Vitesse d’un ﬂuide au contact d’une paroi solide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 IV Quelques propriétés des écoulements stationnaires 16 IV.1 Écoulement incompressible et divergence du champ de vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 IV.2 Écoulement tourbillonnaire et rotationnel du champ de vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 IV.3 Écoulement laminaire ou turbulent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 IV.4 Retour sur le modèle d’écoulement parfait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Au programme Extrait du programme oﬃciel : partie 1 « Thermodynamique et mécanique des ﬂuides », bloc 4 « Description d’un ﬂuide en écoulement stationnaire dans une conduite ». Le bloc 4 introduit le point de vue eulérien pour l’étude des écoulements. Il s’agit de décrire simplement un écoule- ment en identiﬁant des tubes de courant sur lesquels des bilans pourront ensuite être eﬀectués. On pourra faire le lien avec la signiﬁcation physique des opérateurs rotationnel et divergence introduits dans le cours d’électromagnétisme. Notions et contenus Capacités exigibles Grandeurs eulériennes. Régime stationnaire. Décrire localement les propriétés thermodynamiques et méca- niques d’un ﬂuide à l’aide des grandeurs intensives pertinentes. Lignes et tubes de courant. Associer le caractère a priori divergent ou rotationnel d’un écoulement à une carte de champ de vitesse fournie. Débit massique. Exprimer le débit massique en fonction de la vitesse d’écoule- ment. Exploiter la conservation du débit massique. Débit volumique. Justiﬁer l’intérêt d’utiliser le débit volumique pour l’étude d’un ﬂuide de volume massique constant et uniforme en écou- lement. Systèmes à plusieurs entrées et sorties. Exprimer la conservation du débit massique. 1/21 Étienne Thibierge, 28 août 2020, www.etienne-thibierge.fr Chapitre 2 : Description des écoulements Blaise Pascal, PT 2020-2021 Notions et contenus Capacités exigibles Écoulements laminaires. Approche documentaire : Relier la nature de l’écoulement à la valeur du nombre de Reynolds. Distinguer, sur un document, un écoulement laminaire d’un autre type d’écoulement. En gras, les points devant faire l’objet d’une approche expérimentale. Extrait du programme oﬃciel : partie 1 « Thermodynamique et mécanique des ﬂuides », bloc 5 « Énergétique des ﬂuides en écoulement laminaire stationnaire dans une conduite ». Notions et contenus Capacités exigibles Fluides parfaits. Caractériser un ﬂuide parfait par un proﬁl de vitesse uniforme dans une même section droite. Fluides newtoniens : notion de viscosité. Citer des ordres de grandeur de viscosité dynamique de gaz et de liquides (dans le cadre des machines hydrauliques et ther- miques, des lubriﬁants, etc.). Relier l’expression de la force surfacique de cisaillement au proﬁl de vitesse. Exploiter les conditions aux limites du champ de vitesse d’un ﬂuide dans une conduite. Lier qualitativement l’irréversibilité d’un écoulement à la vis- cosité. En gras, les points devant faire l’objet d’une approche expérimentale. Au concours ▷Écrit : épreuve B 2015 et épreuve A 2019. ▷Oral : occasionnellement. 2/21 Étienne Thibierge, 28 août 2020, www.etienne-thibierge.fr Chapitre 2 : Description des écoulements Blaise Pascal, PT 2020-2021 Le but de ce chapitre est de donner des outils de description des écoulements, sans se préoccuper pour le moment de leurs causes. On distingue usuellement les écoulements internes, c’est-à-dire à l’intérieur d’une conduite, par opposition aux écoulements externes qui ont lieu autour d’un obstacle. Le programme de PT est restreint aux écoulements internes, mais une large part des notions abordées dans ce chapitre est valable également pour les écoulements externes. I - Deux approches pour décrire un écoulement Rappel : i On appelle particule ﬂuide une portion de ﬂuide mésoscopique dans les trois dimensions et de masse constante. L L L Attention ! Compte tenu de la déﬁnition, une particule ﬂuide contient un très grand nombre de molécules. Sa masse est constante, mais son volume peut varier : une particule ﬂuide est caractérisée par le nombre de molécules qu’elle contient, mais ni par sa forme ni par ses dimensions. I.1 - Description lagrangienne L’approche lagrangienne consiste à suivre au cours du temps les particules ﬂuides P1, P2, Pk, etc. individuellement. Les grandeurs physiques sont attachées à chaque particule ﬂuide et ne dépendent que du temps. Exemples : vecteur position de la particule k # ” OPk(t) ; vecteur vitesse # ” v k(t) ; masse volumique ρk(t) vecteur position de la particule k # ” OPk(t) ; vecteur vitesse # ” v k(t) ; masse volumique ρk(t) vecteur position de la particule k # ” OPk(t) ; vecteur vitesse # ” v k(t) ; masse volumique ρk(t) toto Espace 1 Cette description se rapproche de celle utilisée en mécanique des solides. Elle est naturellement associée à la notion de trajectoire des particules ﬂuides. Expérimentalement, on les visualise en ajoutant des traceurs (colorant, fumée, bulles, etc.) et en photographiant avec un temps de pose très long. Illustration : Faire un dessin de trajectoire de PF en indiquant les vitesses à deux instants # ” v k(t1), # ” v k(t2). Cette approche est nécessaire pour faire de la « mécanique » des ﬂuides au sens propre, c’est-à-dire appliquer le théorème de la résultante cinétique à une particule ﬂuide, ce qui mène à l’équation de Navier-Stokes, l’équation fondamentale de la mécanique des ﬂuides. Ces aspects ne sont pas développés dans le programme de PT. I.2 - Description eulérienne • Déﬁnition L’approche eulérienne consiste à raisonner sur des volumes mésoscopiques ﬁxés, centrés sur les points M1, M2, Mn, etc. et à enregistrer les caractéristiques des particules ﬂuides qui y passent au cours du temps. Les grandeurs physiques sont des champs, dépendant des coordonnées d’espace et du temps. Exemples : champ des vitesses # ” v (M, t), champ de pression P(M, t), champ uploads/s3/ 02-ecoulements-poly-prof.pdf