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Cours de Mécanique des ﬂuides J.ROUSSEL C.P.I.2 - Chem.I.St2 : 2005-2006 www.al

Cours de Mécanique des ﬂuides J.ROUSSEL C.P.I.2 - Chem.I.St2 : 2005-2006 www.almohandiss.com www.almohandiss.com 2 c ⃝Jimmy Roussel www.almohandiss.com www.almohandiss.com Table des matières 1 Cinématique des ﬂuides 5 1.1 L’état ﬂuide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Description d’un ﬂuide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Conservation de la masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2 Dynamique des ﬂuides Newtoniens 15 2.1 Bilan des forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 L’équation de Navier-Stokes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3 Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3 Fluides en équilibre 25 3.1 Fluide au repos dans un champ de pesanteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.2 Cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4 Théorèmes de Bernoulli - Applications 33 4.1 Écoulement parfait stationnaire incompressible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4.2 Écoulements irrotationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.3 Théorème de Bernoulli généralisé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 5 Écoulements visqueux 43 5.1 Écoulement de poiseuille. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 5.2 Force de traînée sur un obstacle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3 www.almohandiss.com www.almohandiss.com 4 Table des matières 6 Phénomènes de tension de surface 49 6.1 Notion de tension superﬁcielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 6.2 Théorème de Laplace et loi de Jurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 A Formulaire mathématique 57 A.1 Opérateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 B Interprétation énergétique du théorème de Bernoulli. 63 C Démonstrations du théorème de Laplace et de la loi de Jurin. 65 C.1 Théorème de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 C.2 Loi de Jurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 D Diagramme de Moody 69 c ⃝Jimmy Roussel www.almohandiss.com www.almohandiss.com Chapitre 1 Cinématique des ﬂ uides Dans ce chapitre, nous allons étudier le ﬂuide et son écoulement indépendamment des forces respon- sables de cet écoulement. 1.1 L’état ﬂ uide 1.1.1 Propriétés d’un ﬂ uide L’état ﬂuide caractérise un état de la matière. Les liquides, les gaz ainsi que les plasma (gaz de parti- cules chargées) ont les propriétés d’un ﬂuide. Pour décrire l’état ﬂuide adoptons deux points de vue : point de vue macroscopique : Un ﬂuide est un système déformable sans forme propre. ◦L’état liquide : les liquides sont des ﬂuides très peu compressibles et ont donc un volume propre. En première approximation on pourra considérer la masse volumique invariable : Approximation : µ ≈constante ce qui revient à considérer que la compressibilité ainsi que le coefﬁcient de dilatation est nulle : χT = −1 V ∂V ∂P T = 1 µ ∂µ ∂P T ≈0 Pa−1 α = 1 V ∂V ∂T P = −1 µ ∂µ ∂T P ≈0 K−1 Bien sûr, ces grandeurs ne sont pas nulles mais faibles. On retiendra que rigoureusement α = α(T, P) et χT = χT (P, T) mais que pour de faibles variations de pression (quelques bar) et de faibles variations de température (100◦C) la masse volumique est quasi constante (sauf si l’on passe par une transition de phase). 5 www.almohandiss.com www.almohandiss.com 6 Chapitre 1. Cinématique des ﬂuides Exemple : pour l’eau la compressibilité vaut χT ≈4, 4.10−10 Pa−1 à 20 ◦C. Cela signiﬁe qu’il faut augmenter la pression de 227 bars pour voir la masse volumique augmenter de 1%. Les liquides ont un coefﬁcient de dilatation très faible (α ≪ 1 T ). Quand on en tient compte on considère souvent que α ≈constante. Par exemple le mercure α ≈16.10−5 K−1 à 6000 atm et à 283 K. ◦Les gaz : à l ’inverse des liquides, les gaz sont très compressibles (µ = µ(P, T)). Pour un gaz parfait, on a : Approximation du gaz parfait : χT = 1 P ce qui signiﬁe qu’il sufﬁt d’augmenter la pression de 1% (c’est-à-dire de 10 mbar, si on est à la pression atmosphérique) pour augmenter la masse volumique de 1%. Point de vue microscopique : Fondamentalement, un ﬂuide se caractérise par l’absence d’ordre à longue portée (contrairement aux cristaux) et par l’existence d’un chaos moléculaire (contrairement aux solides). Certains systèmes peuvent présenter un ordre à longue portée suivant une seule direction ; c’est le cas des cristaux liquides par exemple. ◦Les gaz : dans un gaz les particules interagissent peu, l’énergie est avant tout cinétique. les distances inter-atomiques sont grandes ce qui explique qu’on puisse comprimer les gaz. ◦Les liquides : dans un liquide les interactions (l’interaction de Van der Waals, la liaisons hydrogène, l’interaction électrostatique dans une solution électrolytique etc ...) jouent un rôle clé. L’interaction est telle que les molécules sont quasi en contact ce qui explique le caractère quasi-incompressible des liquides. 1.1.2 Le modèle continu Avant toute chose, on doit se donner une échelle de description. L’échelle macroscopique n’est pas adaptée notamment parce que le ﬂuide n’est pas solide (système que l’on peut décrire dans son en- semble à l’aide du vecteur rotation et du vecteur vitesse du centre d’inertie). À l’échelle microscopique les grandeurs varient de façon discontinue et imprévisible (cf. Physique statistique). On décide alors de décrire le ﬂuide à une échelle intermédiaire entre l’échelle microscopique et macroscopique : on parle d’échelle mésoscopique. On considère, autour d’un point M, un volume δτ, petit par rapport à l’échelle macroscopique et grand par rapport à l’échelle microscopique. Typiquement un volume de 1 µm3 convient. Ce volume contient un grand nombre de particules ce qui permet de déﬁnir des grandeurs moyennes qui elles vont évoluer de façon continu. On déﬁnira alors des grandeurs moyennes locales : ◦La masse volumique locale en M : µ(M, t) = δm δτ , où δm est la masse de l’ensemble des particules dans δτ, à l’instant t. ◦la vitesse moyenne locale en M : − − − → v(M) =< − → vi > où − → vi est la vitesse d’une particule microscopique dans δτ à l’instant t. c ⃝Jimmy Roussel www.almohandiss.com www.almohandiss.com 1.2. Description d’un ﬂuide 7 λ λ Échelle microscopique Monde fluctuant et aléatoire N molécules Échelle mésoscopique lissage des fluctuations par un effet de moyenne locale L >> v(M,t) M (M,t) µ particule de fluide Fluide a uploads/s3/ 01-cours-de-mecanique-des-fluides.pdf