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Page 1 Christian MAIRE  EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres réserv

Page 1 Christian MAIRE  EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres réservés. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et privée sont interdites. Physique ELECTROMAGNETISME EXERCICE D’ORAL -EXERCICE 29.3- • • • • ENONCE : « Guide d’onde à section rectangulaire » • On considère un cylindre droit métallique et creux, d’axe Oz, à section rectangulaire définie par : 0 et: 0 x a y b ≤ ≤ ≤ ≤ Le cylindre est illimité selon Oz et rempli d’air assimilable à du vide du point de vue électrique. La conductivité des parois étant très grande, nous avons vu dans l’exercice 29.2 (« effet de peau ») que les champs de haute fréquence ne pénétreraient que très peu dans le métal :nous prendrons un modèle (dit du « conducteur parfait », où γ →∞) dans lequel et E B ! ! sont nuls dans le métal. Le champ électromagnétique est donc confiné à l’intérieur du cylindre : on parle de « propagation guidée » par opposition à la propagation libre à partir d’une source rayonnante. 1) Dans ces conditions, donner les conditions aux limites vérifiées par et E B ! ! sur les parois. • On s’intéresse à un champ électrique de la forme : ( , , , ) ( , )exp[ ( )] y E x y z t f x y i t kz e ω = − ! ! ( k ∈R ) 2) Montrer que ( , ) f x y ne dépend pas de y. Donner l’équation satisfaite par ( ) f x et en déduire une condition vérifiée par k . Déterminer les expressions possibles de ( ) f x et établir la relation de dispersion. Définir un ensemble de pulsations critiques et discuter de la forme des solutions selon la valeur de la pulsation . Calculer la plus petite fréquence d’une onde pouvant se propager dans le guide avec a=3cm. Calculer les vitesses de phase et de groupe, les comparer à c et conclure. 3) Déterminer le champ magnétique ; vérifier qu’il satisfait aux conditions aux limites de la question 1). Le champ B ! n’est pas transversal : est-ce un paradoxe ? 4) Calculer les moyennes temporelles de la puissance transportée par le guide et de l’énergie électromagnétique par unité de longueur, soit respectivement et EM T T dW P dz . En déduire la vitesse de propagation de l’énergie E v ; la comparer à la vitesse de groupe g v et conclure. Page 2 Christian MAIRE  EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres réservés. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et privée sont interdites. Physique ELECTROMAGNETISME EXERCICE D’ORAL • • • • CORRIGE : « Guide d’onde à section rectangulaire » 1) La continuité des composantes tangentielle de E ! et normale de B ! , associée à la nullité des champs dans le métal, donnent les relations suivantes : 0 en 0 et , ainsi qu'en: 0 et T N E B x x a y y b = = = = = = 2) • dans le vide : ( , ) 0 0 0 y E f x y divE y y ∂ ∂ = ⇒ = ⇒ = ⇒ ∂ ∂ ! f ne dépend que de x • équation de d’Alembert : 2 2 2 2 2 2 2 1 0 y y y E E E x z c t ∂ ∂ ∂ + − = ⇒ ∂ ∂ ∂ 2 2 2 2 2 ( ) 0 d f k f dx c ω + − = (après simplification par ( ) i t kz e ω − ) ♦ 2 2 2 k c ω " : conduit à des solutions en exponentielles réelles qui ne peuvent s’annuler en 2 points sans s’annuler partout ⇒ cas inintéressant. ♦ 2 2 2 k c ω = : les solutions sont affines et sont nulles partout comme précédemment. ♦ 2 2 2 k c ω ≺ : 2 ' 2 2 0 0 2 ( ) sin cos avec: f x E Kx E Kx K k c ω = + = − ; (0) 0 f = impose : ' 0 0 E = Par ailleurs : ( ) 0 sin( ) 0 avec: n f a Ka Ka n a π = ⇒ = ⇒ = ∈$ ⇒ on tient la relation de dispersion : 2 2 2 2 n k c a ω π   = −    et : 0 sin( )exp[ ( )] n y n x E E i t kz e a π ω = − ! ! (cette solution est appelée « mode n ») Rq : le champ précédent est transverse et porté seulement par y e ! ; si le champ avait également une composante selon x e ! , alors les amplitudes serait de la forme 0 sin( )sin( ) n x m y E a b π π : les modes seraient alors caractérisés par un couple 2 ( , ) n m ∈$ . Le champ étudié dans cet exercice (qui est « transverse électrique » et où m=0) est noté 0 . n T E (le mode fondamental étant 10 . T E ). • Pour qu’une onde se propage, il faut que le vecteur d’onde soit réel, d’où : , n c n c a π ω ω = " qui définit un ensemble de pulsations critiques (une pulsation par mode n) Si , n c ω ω ≺ , k est imaginaire et le champ est de la forme : 0 exp( " )sin( )exp( ) n x E k z i t a π ω ; il n’y a plus propagation de la phase et, le vide ne pouvant être amplificateur, k’’ est négatif : l’amplitude s’amortit exponentiellement, on parle « d’onde évanescente » ou « onde stationnaire exponentiellement amortie » (à ne pas confondre avec une « pseudo-O.P.P.M » où il y a encore propagation de la phase ; voir exercice 29.2). Le guide se comporte donc comme un « filtre passe-haut ». Page 3 Christian MAIRE  EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres réservés. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et privée sont interdites. Physique ELECTROMAGNETISME EXERCICE D’ORAL On peut alors calculer la plus petite fréquence pouvant se propager, qui correspond au mode fondamental : 1, 1, 5 2 2 c c c f GHz a ω π π π = = = (domaine des hyperfréquences) Rq : quand on examine la forme des solutions pour le champ électrique, on constate qu’à x fixé, les variables z et t sont « mélangées » dans le terme de phase, l’onde est alors progressive ; mais à z fixé, les variables x et t sont séparées ⇒ l’onde est stationnaire de ce point de vue. • La vitesse de phase se calcule ainsi : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 c v k n n c c a a ϕ ω ω ω π π ω = = = − − ⇒ 2 , ( ) 1 n c c v c ϕ ω ω ω =   −    " La vitesse de phase dépend de la pulsation ⇒ il y a dispersion : ce n’est pas le vide en soi qui est dispersif, mais bien le mode de propagation guidé (contrairement à la propagation libre). Pour la vitesse de groupe, on peut différentier la relation de dispersion : 2 2 2 d kdk c ω ω = ⇒ 2 2 ou: g d c v v c k dk ϕ ω ω × = × = (cette relation n’est pas générale) ⇒ 2 , 1 n c g v c c ω ω   = −    ≺ Comme signalé dans le cours, la vitesse de phase, qui est une grandeur purement mathématique, peut être supérieure à c ; la vitesse de groupe, ou vitesse d’enveloppe, peut représenter une grandeur physique comme l’énergie ou la position de la crête d’un paquet d’ondes (elle doit donc rester inférieure à c). 3) • L’onde envisagée n’étant pas plane (dépendance spatiale en x ET z), on ne peut utiliser la relation de structure des O.P.P.M ; nous nous servirons de l’équation de Maxwell-Faraday : 0 0 sin( )exp[ ( )] cos( )exp[ ( )] y x y z E n x i B ikE i t kz B z a rotE E t n E n x i B i t kz x a a π ω ω π π ω ω ∂ − = − = −  ∂  ∂ = − ⇒ ∂ ∂ − = = −  ∂  ! %%% ! ! ⇒ 0 0 sin( uploads/s3/ p-ex03-29-cm.pdf