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INTRODUCTION C'est sur une idée de Paul Jackson(1), qui voulait donner le plus

INTRODUCTION C'est sur une idée de Paul Jackson(1), qui voulait donner le plus de plis à une feuille, qu'a démarré le travail sur le froissage structuré. A partir de cela, Vincent Floderer a très largement exploré cette technique, après 1996. Depuis 2001, elle continue à être étudiée au sein du CRIMP(2). Vincent Floderer, dans son article “Formes pliées/froissées dans la nature”(3), décrit la technique du froissage comme suit : « En commençant par le centre, froissez une feuille de papier fin (papier de soie, serviette en papier par exemple); retournez la par le centre et répétez ce processus plusieurs fois. » On cherchera, dans cet article, à modéliser mathématiquement ces formes froissées. Information supplémentaire et notes de référence : (1)Site web de Paul Jackson : http://www.origami-artist.com/crumpling.htm (2)Site web du CRIMP : www.le-crimp.org (3)Article de Vincent Floderer : http://www.le-crimp.org/IMG/pdf/articlefrancais.pdf (2006) + Site web de Junior Fritz Jacquet : http://www.leplieur.com/le_froissage.htm Auteur : Alexis MERAT 28/11/09 Page 1/11 froissage de rectangles multipliés, dévellopé et plié par Vincent Floderer en 1997 Feuille pliée plusieurs fois sur elle même et froissée en son centre, puis dépliée : vue des deux côtés FROISSAGE RAYONNANT DE POINTES PROGRESSIVES : DE LA CONCEPTION MATHÉMATIQUE À LA RÉALISATION PRATIQUE On suivra la réalisation d'un froissage, en commençant par sa conception mathématique, pour aboutir à la forme souhaitée, sur papier. On se limitera à la technique du froissage rayonnant. On utilise l'exemple du modèle de pointes progressives pour appréhender le cas général. 1.Choisir la forme En traivaillant sur la modélisation des froissages, on se rend compte que le plus important, c'est le profil de l'accordéon, c'est à dire la suite de creux et de bosses. On commence donc par donner l'allure de ce qu'on veut. Ici, par exemple : 2.Trouver l'équation de l'accordéon Maintenant, on essaie d'avoir la formulation mathématique de cette forme, en utilisant un système de composées de la fonction valeur absolue. C'est l'application qui va donner l'accordéon voulu à partir d'un plan. Pour notre exemple : 3.Composition avec le cône On compose la fonction accordéon ainsi obtenue, avec l'équation d'un cône. Cette dernière est la “fonction” donnant un froissage rayonnant. On va donc appliquer un froissage rayonnant à notre accordéon. Ainsi, on obtient la forme théorique voulue, dans le cas d'un froissage infini et d'une épaisseur de papier qui tend vers zéro. On a donc la modélisation du modèle qu'on a conçu à partir de son profil. On va pouvoir maintenant étudier sa faisabilité sur papier, trouver la séquence de pli et le point de froissage. Auteur : Alexis MERAT 28/11/09 Page 2/11 Tracé à main levé de l'allure du modèle désiré Expression mathématique de l'accordéon correspondant au modèle désiré La surface obtenue dans notre exemple 4.Définir le réseau correspondant On commence par déterminer le reseau correspondant, c'est à dire, la forme de chaque module froissé (chaque rectangle correspond à une pointe froissée), ainsi que le centre de froissage. Pour cela, on “déplie” l'accordéon, en marquant certains points : un sommet est un centre de froissage et un creux délimite deux rectangles. Voicipour le cas que nous étudions : 5.Aboutir à une méthode de pliage La première méthode de prépliage, qui découle de cela, est de plier le long des lignes en pointillé, en colapsant, les pointes se regroupent, et il suffit de froisser à l'endroit où les pointes se rejoignent. (photo ci-contre) Auteur : Alexis MERAT 28/11/09 Page 3/11 6.Autre méthode de pliage L'autre méthode consiste à faire deux accordéons successifs sur la même feuille et de froisser en un point précis (différent du centre). (photos : 1er accordéon, 2ème accordéon, le tout froissé). La méthode est plus rapide, mais moins précise que la précédente, du fait des surépaisseurs. On a donc réalisé un modèle de pointes de plus en plus longues en allant vers le bord, en ayant le bout des pointes au même niveau. On pourrait imaginer toutes sortes de combinaisons de hauteurs de pointes, pour faire des modèles aussi riches que variés. On peut ainsi construire toute une famille de formes froissées, dont le pavage du canevas de départ serait constitué de rectangles (et/ou de carrés, dans les cas particuliers). Le principe fondamental est de définir le ou les deux canevas de départ (on a deux axes), donnant le profil du modèle. En poursuivant les recherches, on pourrait imaginer de trouver un moyen de modéliser un plus grand nombre de structures, et élargir les possibilités de réalisations, voir même d'établir des propriétés permettant de déterminer toutes formes possibles, à partir d'un même principe. La description mathématique pourrait permettre, à long terme et avec l'utilisation d'autres outils, des tester informatiquement le comportement et la résistance des modèles, en fonction de leur échelle et du matériau. Cela permettrait de connaître directement les objets, sans avoir à les faire sur papier; ainsi qu'une meilleur conception de formes en réponse à des commandes précises (exemple du projet UTT). Modèle développé par Vincent Floderer en 1997 Auteur : Alexis MERAT 28/11/09 Page 4/11 Le modèle final, vu du dessus Le modèle final, vu du dessous ANNEXE A : MODÉLISATION DU FROISSAGE RAYONANT FONDEMENTS MATHÉMATIQUES On va étudier, ici, les éléments techniques qui nous permettent de poser les bases de la modélisation de froissage. C'est en reliant différentes notions mathématiques avec des éléments de pliages, que l'on pourra ensuite utiliser les propriétées qui en découlent, de façon sûre. 1. Modelisation du froissage simple par une portion de cône Le cône La modélisation du froissage rayonnant repose sur un principe simple : si on froisse un carré de papier par un point, alors on obtient la représentation partielle d'un cône, qui aurait été coupé par des plans parallèles à l'axe du cône et perpendiculaires deux à deux. Cette propriété nécessite tout de même d'être démontrée, pour pouvoir utiliser ce résultat par la suite. (voir démonstrations) Pourquoi cela permet une multiplication Le fait qu'on ait un cône coupé par des plans parallèles à l'axe du cône et perpendiculaires deux à deux est très important, c'est ce qui va permettre la multiplication. On va pouvoir trouver au moins une autre portion de cône qui va pouvoir se rattacher à un bord. Et ainsi de suite, on va pouvoir obtenir une surface constituée de cônes élémentaires. (voir démonstrations) 2. Multiplication du carré Description du modèle Voilà ce qu'on obtiendrait si on prennait 16 portions de cône identiques et qu'on les assemblait par le bord. On optient donc une surface à seize pointes, par collage. Sauf que l'on va essayer d'avoir cette même surface, mais décrite en une seule fois. Il faudrait que cela corresponde au processus logique de pliage expérimental. Auteur : Alexis MERAT 28/11/09 Page 5/11 portion d'un cône d'équation z2=x2y2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 L'accordéon Pour construire l'accordéon, on va coller bout à bout chaque intervalle de définition de chaque cône. On note cet ensemble y. Comme on a choisit le modèle tel que le raccord se fasse bien, l'ensemble est continu. On va ensuite chercher à exprimer cet ensemble d'intervalles par une fonction définie sur un ensemble unique qui prend des valeurs x . On cherche donc y= f x. Pour cela, on va utiliser la fonction valeur absolue. En faisant des compositions successives de fonctions valeure absolue affine, on obtient un accordéon qui va donc prendre les valeurs souhaitées. (voir démonstrations) L'équation finale Pour obtenir la surface finale, par une seule fonction continue, on va composer cette fonction f dans l'équation d'un demi cône (i. e. gx ; y=f x 2f y 2; ∈ℝ). Et donc la représentation graphique va nous donner la modélisation de la multiplication du carré froissé. Le grand interêt de cette méthode de modélisation est d'obtenir la forme par une seule expression, modulable selon l'allure que l'on veut. De plus, l'accordéon qu'on a modélisé grâce au différentes compositions de la fonction valeur absolue correspondont à l'accordéon fait pour le prépliage du modèle froissé. Par contre, les formes qu'on obtient ne sont valables que dans des cas théoriques où on a pas les tensions dues au papier. On pourrait affiner les recherches pour pouvoir modéliser ces dernières. En complément de ce travail technique, il est nécessaire aussi d'avoir une approche artistique. Même si on prend des figures archaïques, et qu'on en fait une description très carrée, on peut obtenir de très beaux objets. Auteur : Alexis MERAT 28/11/09 Page 6/11 Multiplication du carré, developpé et plié par Vincent Floderer en 1997 ANNEXE B : VARIATION SUR LE MODÈLE DE POINTES PROGRESSIVES On va étudier une variation sur le modèle précédemment exposé, en regardant ce qui change et ce qui est commun. Ceci permettra d'améliorer la compréhension de la modélisation. 1. L'accordéon, un autre sens de lecture En fait, la variation va consister à renverser l'accordéon (en rajoutant le signe moins devant l'expression mathématique). On aura donc les pointes toujours progressives, mais le bout de plus en plus haut et la base à la même hauteur (soit l'inverse de ce qui se passe pour le précédent modèle). 2. La nouvelle surface, prévoir uploads/s3/ 3-0-modelisation-froissage.pdf