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3dev7.10 devoir à rédiger n°7 31/01/2011 Collège Vivant Denon Saint- Marcel Exe

3dev7.10 devoir à rédiger n°7 31/01/2011 Collège Vivant Denon Saint- Marcel Exercice 1 On considère l'expression : D = (4x − 7)(2x − 3) − (2x − 3)2. a. Développer et réduire D. b. Sur la figure ci-contre, ABCD est un rectangle et AEFD est un carré. On suppose, dans cette question, que x est un nombre supérieur à 2. Pour quelle(s)valeur(s) de x (x  2), la différence entre l’aire du rectangle et l’aire du carré est-elle égale à 12 cm2 ? Exercice 2 On donne le programme de calcul suivant. • Choisir un nombre. • Ajouter 6. • Multiplier la somme obtenue par le nombre choisi au départ. • Ajouter 9 à ce produit. • Écrire le résultat. a. Écrire les calculs intermédiaires et donner le résultat fourni lorsque le nombre choisi est 2. Recommencer avec − 5. b. Écrire ces deux résultats sous la forme de carrés de nombres entiers. c. Démontrer que le résultat est toujours un carré, quel que soit le nombre choisi au départ. d. On souhaite que le résultat soit 16. Quel(s) nombre(s) doit-on choisir au départ ? On tiendra compte de la présentation et de la rédaction A E B F 4x – 7 2x − 3 D C exercice1 D = (4x − 7)(2x − 3) − (2x − 3)2 = 8x2 − 12x − 14x 21  − ( 4x2 − 12x 9)  = 8x2 − 26x 21  − 4x2  12x − 9 D = 4x2 − 14x 12  Factoriser D. D = (4x − 7)(2x − 3) − (2x − 3)2 = (2x − 3)[(4x − 7) − (2x − 3)] D = (2x − 3)(2x − 4) La différence entre l’aire du rectangle et l’aire du carré est de : (4x − 7)(2x − 3) − (2x − 3)2 C'est en fait l'expression D et le problème revient donc à résoudre l'équation : D = 12 ce qui donne, avec l'expression développée : 4x2 − 14x 12  = 12 4x2 − 14x = 0 2x(2x − 7) = 0 ce qui équivaut à 2x = 0 ou 2x − 7 = 0 x = 0 x = 3,5 mais x doit être un nombre supérieur à 2. Il ne reste qu'une possibilité : x vaut 3,5 cm. Exercice 2 a) • 2 • 2 6  = 8 • 8 × 2 = 16 • 16 9  = 25 • Résultat : 25 • -5 • -5 6  = 1 • 1 × (-5) = -5 • -5 9  = 4 • Résultat : 4 b)25 = 52 et 4 = 22. c) Soit n, un nombre quelconque. Si on lui applique le programme, on obtient à la fin l'expression : (n 6)  × n 9  c'est-à-dire, en développant : n2 6  n 9  puis en factorisant : (n 3)  2 donc, le résultat obtenu est toujours un carré. d) Pour que le résultat soit 16 : (n 3)  2 = 16 En regroupant, puis en factorisant : (n 3)  2 − 16 = 0 (n 3  − 4)(n 3   4) = 0 (n − 1)(n 7)  = 0 ce qui équivaut à : n − 1 = 0 ou n 7  = 0 n = 1 ou n = -7 Donc, on doit choisir 1 ou -7 au départ pour obtenir 16 à la fin. uploads/s3/ 3dev7-10c.pdf