Rappels sur la fonction exponentielle Dossier N◦8 FONCTIONS En classe de premiè

Rappels sur la fonction exponentielle Dossier N◦8 FONCTIONS En classe de première vous vous êtes intéressé à l’existence éventuelle d’une fonc- tion qui serait égale à sa fonction dérivée. Du point de vue graphique et si une telle fonction existe, en un point de la courbe d’ordonnée u la pente de la tangente est ....... u ! ! ! Voici une illustration de cette idée, à chaque position on a dessiné une tangente dont la pente correspondant à cette position. On peut constater le parallélisme des tangentes pour la même ordonnée. On dit d’une telle fonction qu’elle est solution de l’équation différentielle : y′ = y Introduction 1 Si on ajoute une contrainte supplémentaire, par exemple le fait que la courbe passe par le point A(0, 1), la courbe ci-dessous apparaît : C’est cette fonction que l’on va appeler fonction exponentielle Introduction 2 1 On admet qu’il existe une fonction dérivable sur R égale à sa dérivée et telle que l’image de 0 soit égale à 1 Plus précisément : On admet qu’il existe une fonction f dérivable sur R telle que :    f′(x) = · · · · · · · · · pour tout x de R et f(0) = · · · · · · · · · Cette fonction est appelée fonction exponentielle et est accessible sur vos calculatrices par la touche : ex Nous la noterons pour l’instant sous la forme exp(x) On a donc :    (exp(x))′ = exp(x) pour tout x de R et exp(0) = 1 Définition Il a été démontré en première les propriétés ci-dessous : 1 Pour tout x de R exp(x) > 0 2 Pour tout a et b de R, exp(a + b) = exp(a) × exp(b) La fonction exp transforme les sommes en produits 3 Pour tout a et b de R, exp(a −b) = exp(a) exp(b) La fonction exp transforme les différences en quotients 4 Pour tout b de R exp(−b) = 1 exp(b) La fonction exp transforme l’opposé en l’inverse 5 Et bien sur ( C’est dans la définition) exp(0) = 1 Propriété calculatoire On décide de noter e l’image de 1 par la fonction exp. On peut démontrer ( à l’aide de la méthode d’Euler par exemple) que e ≈ 2, 718....... . Ce nombre est un nombre irrationnel. Il se produit alors un effet remarquable : I exp(0) = 1 = e··· I exp(1) = e = e··· I exp(2) = exp(1 + 1) = exp(1) × exp(1) = e × e = e2 I exp(3) = exp(2 + 1) = exp(2) × exp(1) = e2 × e = e3 I exp(4) = exp(3 + 1) = exp(3) × exp(1) = e3 × e = = e4 On peut alors démontrer par récurrence que : Pour tout n de N, exp(n) = en où e est le nombre réel défini comme l’image de 1 par la fonction exponentielle. Puisque exp(−n) = 1 exp(n) la propriété précédente peut être généralisée : Pour tout n de Z, exp(n) = en Le nombre e 2 On décide alors de généraliser à toute valeur de x la notation de type puissance de e Ainsi exp(x) sera dorénavant noté ex . Cependant il faudra toujours dire exponentielle de x Changement de notation I (ex)′ = ex I e0 = 1 e1 = e I ea+b = ea × eb I ea−b = ea eb I e−b = 1 eb I (ea)n = enx n ∈Z Les propriétés avec la nouvelle notation u est une fonction dérivable sur un intervalle I. La fonction f définie par : f(x) = eu(x) est dérivable sur I et pour tout réel x de I f′(x) = On retient : (eu)′ = Propriété Entraînement et apprentissage Exercice 1 : Calculer les fonctions dérivées des fonctions suivantes : On ne s’occupera pas des ensembles de continuité et dérivabilité f(x) = ex + 3x −10 f(x) = xex + 10x −100 f(x) = (x2 −3x + 1)ex f(x) = (x2 −3x + 1)e−x f(x) = (1 −x)(2 −3ex) f(x) = 1 + x ex f(x) = ex 1 + x2 f(x) = ex ex −x f(x) = 2ex + 1 ex + 1 f(x) = e2x + 5ex −3 f(x) = x + 2 + 3ex ex + 1 f(x) = 5e−x + 6ex −2 Exercice 2 : Manipulation algébrique Simplifier les expressions suivantes : 1 e3 × e5 2 e−2 × e4 3 1 e−5 4 e53 Exercice 3 : Simplifier les expressions suivantes : 1 e4 × e−4 2 e5 × e−3 e−2 3 e43 × e4 4 e3−2 × e5 Exercice 4 : Simplifier les expressions suivantes : 1 e5 −e42 − e5 + e42 2 e2 + e−2 e2 −e−2 3 e3 −e−3 e3 + e−3 4 q (e2 + 1)2 −(e2 −1)2 5 e × e2x+1 6 e3−2x × ex+5 7 e5x2 8 e9x −2 e3x3 3 Exercice 5 : Simplifier les expressions suivantes : 1 ex × e−x 2 ex × e−x+1 3 e × e−x 4 e−x2 5 ex ex + e−x 6 (ex)5 e−2x2 7 (ex)3 e2x 8 √ e−2x 9 e−4x × e (e−x)2 Exercice 6 : Simplifier les expressions suivantes : 1 ex + e−x2 − ex −e−x2 2 ex −e−x2 −e−x e3x −e−x 3 ex −e−x e2x + ex + 1  4 e3x2 + e−3x2 − e3x −e−3x2 5 e3x2 −e2x e2x + e−22 Exercice 7 : Propriétés algébriques et graphique On considère la fonction, g définie sur R par g(x) = ex −1 ex + 1 1 Démontrer que : pour tout x de R on a : g(−x) = −g(x) . 2 Représenter graphiquement la fonction g sur votre calculatrice. Comment la relation du 1) se traduit-elle géométriquement ? Exercice 8 : Résolution d’équations et inéquations La fonction exponentielle étant strictement croissante, on dispose des propriétés suivantes : I ea = eb équivaut à a = b I ea < eb équivaut à a < b I ea > eb équivaut à a > b Information 1 Résoudre l’équation e5x+8 = e2 2 Résoudre l’équation e2x+5 = e10x+1 3 Résoudre l’équation e10x+2 = 1 4 Résoudre l’équation e3x+2 = e 5 Résoudre l’inéquation ex2−4 ≤e−3x 6 Résoudre l’équation e2x+1 < 1 Exercice 9 : Encore un peu de dérivation Calculer les fonctions dérivées des fonctions suivantes : f(x) = (5x −2)ex f(x) = x2 ex f(x) = e2x −5ex + 3 f(x) = 3xe4x f(x) = xe0,1x+1 f(x) = e−x 2x f(x) = 3x2 + 5x −e−x f(x) = 100ex ex + 1 Exercice 10 : Étude de fonctions Après avoir calculé les fonctions dérivées, étudier les variations des fonction suivantes : (Les limites aux bornes des ensembles de définition seront conjecturées à l’aide de la cal- culatrice) 1 f(x) = (2x −1)e−x sur R 2 f(x) = ex 2 −2x sur ]1; +∞[ 4 3 f(x) = −x + 5 2 −e−x sur R Approfondissement Exercice 11 : On considère les fonctions f et g définies sur R par : f(x) = −x2ex et g(x) = x2 −x −1  ex Les représentations graphiques de f et de g sont données ci-contre x y (C1) (C2) 1 1 Partie A : Quelques conjectures 1 Justifier que la représentation graphique de la fonction f est la courbe C1 2 Conjecturer par lecture graphique les valeurs qui annulent les fonctions dérivées de f et g 3 Justifier sur le graphique que l’équation f(x) = g(x) semble admettre deux solution u et v Vérifier que v est un nombre entier et donner par lecture graphique un encadrement de u Partie B : Étude des fonctions f et g 1 Vérifier que pour tout x de R : f′(x) = (−x2 −2x)ex Étudier le signe de f′(x) puis établir le tableau de variation de f On admettra que : lim x→−∞f(x) = 0 et lim x→+∞f(x) = −∞ 2 Calculer g′(x) Étudier le signe de g′(x) puis établir le tableau de variation de g On admettra que : lim x→−∞g(x) = 0 et lim x→+∞g(x) = +∞ Partie C 1 Résoudre l’équation f(x) = g(x) 2 En déduire les valeurs exactes de u et v . Exercice 12 : Comme au bac ! ! On considère la fonction f définie sur R par : f(x) = xex ex + 1 1 Calculer f′(x) Vérifier que f′(x) = ex (ex + x + 1) (ex + 1)2 2 Pour déterminer le signe de f′(x) il nous faut connaître le signe de ex + x + 1 Les techniques de calcul algébrique ( factorisation , transposition....) ne nous permette pas une telle étude. Nous allons donc étudier les variations de la fonction g(x) = ex + x + 1 afin d’avoir des renseignements sur son signe (a) On pose donc : g(x) = ex + x + 1 Calculer g′(x) puis établir le tableau de variation de g (b) Justifier que l’équation g(x) = 0 admet une unique solution α Donner uploads/s3/ dossier-8-fon-ction-exp.pdf

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