Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

UNIVERSIT´ E DES SCIENCES ET DE LA TECHNOLOGIE HOUARI BOUMEDIENNE(1) FACULT´ E

UNIVERSIT´ E DES SCIENCES ET DE LA TECHNOLOGIE HOUARI BOUMEDIENNE(1) FACULT´ E DES MATH´ EMATIQUES D´ EPARTEMENT D’ANALYSE LABORATOIRE DES SYST` EMES DYNAMIQUES Notes de Cours du module Fonctions de plusieurs variables Par LAADJ Touﬁk(2) Pour Troisi` eme ann´ ee Licence Alg` ebre et Cryptographie Septembre 2014 (1)USTHB : Bab Ezzouar Alger, Alg´ erie. (2)Page Web : http://perso.usthb.dz/˜tlaadj/ Table des mati` eres Table des mati` eres iii Description du Cours iv 0 Rappel sur les propri´ et´ es topologique de Rn 1 0.1 Notion de distance dans Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0.2 Normes dans Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0.2.1 Exemples de normes dans Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0.2.2 Normes ´ equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0.3 Propri´ et´ es topologique de Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0.3.1 Suites de Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0.3.2 Ouverts et ferm´ es de Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 0.3.3 Quelques propri´ et´ es ´ el´ ementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1 Fonctions continues 11 1.1 G´ en´ eralit´ es sur les fonctions de plusieurs variables . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1.1 D´ eﬁnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1.2 Repr´ esentation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2 Limite d’une fonction de Rn dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.1 Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3 Continuit´ e d’une fonction de Rn dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3.1 Fonctions continues et ensembles compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 Fonctions diﬀ´ erentiables 19 i Table des mati` eres 2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2 D´ eﬁnitions et propri´ et´ es ´ el´ ementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.3 D´ eriv´ ees partielles, gradient et matrice jacobienne . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3.1 Interpr´ etation g´ eom´ etrique de la diﬀ´ erentielle . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.4 Composition des fonctions diﬀ´ erentiables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.5 D´ eriv´ ee suivant un vecteur - D´ eriv´ ee directionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.5.1 Interpr´ etation g´ eom´ etrique en dimension 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3 Th´ eor` emes g´ en´ eraux du calcul diﬀ´ erentiel 36 3.1 D´ eriv´ ees partielles d’ordre sup´ erieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.1.1 Th´ eor` eme de Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.2 Th´ eor` eme des accroissements ﬁnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.3 Formule de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.3.1 Points critiques et extrema libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.4 Th´ eor` eme des fonctions implicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.4.1 Extrema li´ es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4 Int´ egration des fonctions de plusieurs variables 50 4.1 Introduction et d´ eﬁnitions g´ en´ erales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4.1.1 Notion de pav´ e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4.1.2 Ensembles mesurables dans Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 4.1.3 Sommes de Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 4.1.4 Fonctions int´ egrables sur une partie mesurable de Rn . . . . . . . . . . . 53 4.2 Int´ egrales doubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.2.1 Interpr´ etation g´ eom´ etrique d’une int´ egrale double . . . . . . . . . . . . . 58 4.2.2 Changement de variables dans les int´ egrales doubles . . . . . . . . . . . . 59 4.3 Int´ egrales triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 4.3.1 Th´ eor` eme de Fubini dans R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4.3.2 Changement de variables dans R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 5 Formes diﬀ´ erentielles, int´ egrales curviligne et de surface 66 5.1 Formes diﬀ´ erentielles sur Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 5.1.1 Formes multilin´ eaires altern´ ees sur Rn . . . . . . . . . . . . . . . . uploads/s3/ 3lecturenotes3laccmvcflsd-pdf.pdf