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BTS DOMOTIQUE Fonctions 2008-2010 FONCTIONS Table des matières I Fonctions usue

BTS DOMOTIQUE Fonctions 2008-2010 FONCTIONS Table des matières I Fonctions usuelles 2 I.1 Fonctions en escalier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 I.2 Fonctions aﬃnes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 I.3 Fonction logarithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 I.4 Fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 I.5 Fonctions puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 II limites 7 II.1 Interprétation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 II.2 Limites des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 II.3 Opérations sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 II.3.1 Limite d’une somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 II.3.2 Limite d’un produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 II.3.3 Limite d’un quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 II.3.4 Compositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 II.4 Calcul de limites dans les cas de formes indéterminées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 II.5 Croissance comparée de l’exponentielle, du logarithme et des fonctions puissance . . . . . . . 12 IIIDérivation 12 III.1 Nombre dérivé en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 III.2 Fonction dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 III.3 Dérivées successives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 III.4 Opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 III.5 Équation de la tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 IV Étude des variations d’une fonction 16 IV.1 Lien entre dérivation et sens de variation d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 IV.2 Extremum d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 IV.3 Résolution de l’équation f(x) = λ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 http://nathalie.daval.free.fr -1- BTS DOMOTIQUE Fonctions 2008-2010 I Fonctions usuelles I.1 Fonctions en escalier Déﬁnition 1 Une fonction en escalier est une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exemple 1 La fonction déﬁnie sur [−8 ; +∞[ par f(x) =            −2 si −8 ≤x < −2 6 si −2 ≤x ≤0 3 si 0 < x < 4 1 si 4 ≤x est une fonction en escalier. 2 4 6 −2 2 4 6 8 10 12 14 −2 −4 −6 −8 I.2 Fonctions aﬃnes Déﬁnition 2 a et b sont deux réels donnés. La fonction déﬁnie sur R par f(x) = ax + b est appelée . . . . . . . . . . . . . . . . . . ® Le réel a est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ® Le réel b est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Une fonction aﬃne est dérivable sur R de dérivée f ′(x) =. . .. . .. D’où les tableaux de variation suivants : a > 0 x signe de f ′(x) variations de f signe de f a < 0 x signe de f ′(x) variations de f signe de f http://nathalie.daval.free.fr -2- BTS DOMOTIQUE Fonctions 2008-2010 Exemple 2 Le graphique ci-contre représente les droites d’équation : d1 : y = x + 1 d2 : y = 2 d3 : y = −3x −2 d4 : x = −1 d5 : y = 3 4x −3 0 1 1 I.3 Fonction logarithme Déﬁnition 3 La fonction logarithme népérien, notée ln, est l’unique primitive de la fonction x →. . .. . .. . .déﬁnie sur qui s’annule en . . .. . .. . .. Conséquences directes : • ln(1) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . uploads/s3/ bts-cours-2-fonctions-trous.pdf