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Département de Mathématiques Faculté de sciences exactes Université Frères Ment

Département de Mathématiques Faculté de sciences exactes Université Frères Mentouri, Constantine 1 Polycopié COURS D'ALGEBRE 4: Formes bilinéaires et réduction des formes quadratiques BOUDELIOU AMMAR ET MATMAT CHAHRAZADE ©- 2017 A. Boudeliou, C. Matmat République Algérienne Démocratique et Populaire Ministère de L’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique Université Des Frères Mentouri, Constantine1 Faculté Des Sciences Exactes Département De Mathématiques Polycopié COURS D'ALGEBRE 4: "Formes bilinéaires et réduction des formes quadratiques " Par: BOUDELIOU AMMAR et MATMAT CHAHRAZADE ©- 2017 A. Boudeliou, C. Matmat Table des matières I FORMES LINÉAIRES ET DUALITÉ . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1 Formes linéaires, espace dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Hyperplans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Base duale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Bidual d’un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 II FORMES BILINÉAIRES SUR UN ESPACE VECTORIEL DE DI- MENSION FINIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.1 Déﬁnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2 Matrice associée à une forme bilinéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3 Changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.4 Noyau et rang d’une forme bilinéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.5 L’équivalence entre formes bilinéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.6 Orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 III ESPACES EUCLIDIENS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.1 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.2 Espace euclidien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.3 Orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.4 Matrices orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 1 3.5 Diagonalisation des matrices symétriques réelles . . . . . . . . . . . 48 3.5.1 Adjoint d’un endomorphisme dans un espace euclidien . . . . 49 3.5.2 Endomorphisme auto-adjoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.5.3 Diagonalisation des matrices symétriques . . . . . . . . . . . 53 IV FORMES QUADRATIQUES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.1 Formes quadratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.2 Matrice d’une forme quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4.3 Réduction des formes quadratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.3.1 Réduction dans le cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.3.2 Réduction en carrés de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.3.3 La réduction dans une base de vecteurs propres . . . . . . . . 76 4.3.4 Formes quadratiques équivalentes . . . . . . . . . . . . . . . 80 V FORMES HERMITIENNES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 5.1 Rappels sur les nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 5.2 Formes hermitiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 2 Préface L’ouvrage que nous présentons ici peut servir comme support d’algèbre bilinéaire destiné aux étudiants de la license LMD, en particulier pour les étudiants de 2ème année (Maths ) et il peut aussi servir aux étudiants des sciences et technologie. Depuis quelques années, l’algèbre linéaire et bilinéaire est devenue une partie essentielle du bagage mathématique nécessaire aux ingénieurs, physiciens et autres scientiﬁques. Ce besoin reﬂète l’importance et les applications étendues du sujet. Ce polycopié est destiné à être utilisé comme manuel pour un cours d’algèbre bilinéaire ou comme supplément à d’autres ouvrages. Il vise à présenter des notions de base de l’algèbre bilinéaire qui sera utile à tous les lecteurs quelle que soit leur spécialisation. Il est inclus plus de matière que l’on en peut insérer dans la plupart des cours d’algèbre bilinéaire. Ceci a été fait dans le but de rendre l’ouvrage plus souple, de fournir un livre de référence utile et stimuler l’intérêt porté à cette matière. Chaque chapitre comprend des énoncés clairs de déﬁnitions de principes et de théorèmes avec démonstrations, des éléments d’illustration et de description et des exemples qui servent à illustrer et à ampliﬁer la théorie, à mettre au point de façon précise les passages délicats, sans lesquels l’étudiant se sent constamment sur un terrain incertain, et à permettre la répétition des principes fondamentaux, si essentiels à une étude eﬃcace. Cet ouvrage est enrichi par une biographie de quelques savants cités dans le cours. Le premier chapitre est consacré à la présentation de diﬀérentes notions sur les formes linéaires et dualité. le deuxième chapitre et consacré à l’étude des formes bili- néaires déﬁnies sur un espace vectoriel de dimension ﬁnie où on donne des déﬁnitions, la matrices d’une forme bilinéaire, changement de base, noyau et rang d’une forme bi- linéaire, équivalence entre formes bilinéaires et orthogonalité par rapport à une forme bilinéaire. Dans le troisième chapitre on présente des notions essentielles concernant : le produit scalaire, les espaces euclidiens, l’ orthogonalité, les matrices orthogonales 3 et la diagonalisation des matrices symétriques réelles. En quatrième chapitre nous nous intéressons à l’étude des formes quadratiques et ses réduction qui est notre but principal de ce polycopié. On termine notre polycopié par la donnée des notions de bases sur les formes hermitiennes. Le contenu de cet ouvrage est le fruit des Cours d’algèbre 4 que nous enseignons en deuxième année au département de mathématiques. Dr. A. BOUDELIOU 4 Chapitre I FORMES LINÉAIRES ET DUALITÉ 1.1 Formes linéaires, espace dual Dans tout ce chapitre K désignera un corps commutatif et E un K-espace vectoriel (de dimension ﬁnie ou non). Déﬁnition 1.1 Soit E un K espace vectoriel. On appelle forme linéaire sur E toute application linéaire de E dans K. On appelle espace dual de E, noté E∗, l’espace vectoriel des formes linéaires sur E. Autrement dit, E∗= L (E, K) et ϕ ∈E∗signiﬁe que ϕ : E →K est une application linéaire telle que : ∀(x, y) ∈E2 et ∀(α, β) ∈K2, ϕ (αx + βy) = αϕ (x) + βϕ (y) . Exemple 1.2 (a) L’application R2 →R, (x, y) 7→2x + y est une forme linéaire sur R2. (b) L’application E →K, x 7→0 est une forme linéaire, appelée forme nulle sur E. uploads/s3/ cours-algebre-4-pdf.pdf