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2e édition Renée Veysseyre Aide-mémoire Statistique et probabilités pour l’ingé

2e édition Renée Veysseyre Aide-mémoire Statistique et probabilités pour l’ingénieur 2e édition © Dunod, Paris, 2001, 2006 ISBN 2 10 049994 7 TABLE DES MATIÈRES Principales notations XI A Statistique descriptive 1 • Représentation graphique et numérique des données 3 1.1 Généralités et principales déﬁnitions 3 1.2 Séries numériques à une dimension 7 1.3 Séries numériques à deux dimensions 26 B Calcul des probabilités 2 • Le modèle probabiliste 33 2.1 Introduction 33 2.2 Les concepts probabilistes 35 2.3 Mesure de probabilité et espace probabilisé 40 2.4 Échantillons et sous-populations 41 3 • Probabilité conditionnelle. Indépendance 42 3.1 Déﬁnition 42 3.2 Principe des probabilités composées 44 3.3 Événements indépendants 44 c ⃝Dunod – La photocopie non autorisée est un délit III 3.4 Indépendance deux à deux et indépendance mutuelle 45 3.5 Théorème de Bayes 46 4 • Variables aléatoires réelles 49 4.1 Généralités sur les variables aléatoires 49 4.2 Fonction de répartition 52 4.3 Densité de probabilité 54 4.4 Discontinuités d’une fonction de répartition et lois discrètes 56 4.5 Loi de probabilité d’une variable aléatoire Y fonction d’une variable aléatoire X 57 4.6 Indépendance de deux variables aléatoires 58 4.7 Moments d’une variable aléatoire 59 5 • Lois de probabilité discrètes 67 5.1 Déﬁnition d’une variable discrète 67 5.2 Loi de Dirac 69 5.3 Loi uniforme 70 5.4 Loi binomiale ou loi des tirages avec remise 71 5.5 Loi multinomiale 77 5.6 Loi hypergéométrique ou loi du tirage exhaustif 80 5.7 Loi de Poisson 83 5.8 Lois limites 84 5.9 Résumé 87 6 • Lois de probabilité continues 89 6.1 Généralités 89 6.2 Loi uniforme 90 6.3 Loi exponentielle 92 6.4 Loi gamma 95 6.5 Lois bêta de types I et II 97 6.6 Loi de Laplace-Gauss ou loi normale 100 6.7 Loi log-normale 109 7 • Convolution. Fonctions caractéristiques. Convergences stochastiques 112 7.1 Convolution 112 IV 7.2 Fonction caractéristique 116 7.3 Convergence des suites de variables aléatoires 120 7.4 Lois des grands nombres 124 7.5 Théorème central limite 125 8 • Variables aléatoires simultanées 127 8.1 Étude d’un couple de variables aléatoires discrètes 127 8.2 Étude d’un couple de variables aléatoires continues 132 8.3 Extension à des vecteurs aléatoires 139 8.4 Application : loi normale multidimensionnelle 141 9 • Processus aléatoires 146 9.1 Déﬁnitions 147 9.2 Processus équivalents 148 9.3 Moments 149 9.4 Continuités 149 9.5 Processus stationnaires 150 9.6 Exemples de processus aléatoires 153 9.7 Martingale 154 9.8 Mouvement brownien 156 9.9 Marche au hasard 157 9.10 Processus et chaînes de Markov 158 9.11 Processus ponctuels 166 9.12 Application aux phénomènes d’attente 170 C Statistique inférentielle 10 • Caractéristiques d’un échantillon. Application aux échantillons gaussiens 179 10.1 Introduction 179 10.2 Déﬁnition d’un échantillon aléatoire 180 10.3 Caractéristiques d’un échantillon aléatoire 181 c ⃝Dunod – La photocopie non autorisée est un délit V 10.4 Distribution du chi-deux 185 10.5 Distribution de Fisher-Snedecor 188 10.6 Distribution de Student 190 10.7 Cas particulier des échantillons gaussiens 192 11 • Lois des valeurs extrêmes. Échantillons artiﬁciels 195 11.1 Échantillons ordonnés et statistique d’ordre 195 11.2 Loi de la variable X(k), réalisation de rang k 198 11.3 Loi de la variable X(n), plus grande valeur observée 199 11.4 Loi de la variable X(1), plus petite valeur observée 202 11.5 Échantillons artiﬁciels et simulation 203 12 • Théorie de l’estimation 210 12.1 Exposé du problème et exemples 210 12.2 Déﬁnition d’une statistique 212 12.3 Statistique exhaustive 213 12.4 Information de Fisher 218 13 • Estimation ponctuelle 220 13.1 Déﬁnition d’un estimateur 220 13.2 Principales qualités d’un estimateur 221 13.3 Estimateur sans biais de variance minimale 227 13.4 Précision intrinsèque d’un estimateur et inégalité de Cramer-Rao 228 13.5 Méthode du maximum de vraisemblance (MV) 229 13.6 Extension au cas de plusieurs paramètres 232 14 • Estimation par intervalle de conﬁance 235 14.1 Déﬁnition d’un intervalle de conﬁance 235 14.2 Exemples d’intervalles de conﬁance 238 14.3 Estimation et intervalle de conﬁance dans le cas d’une population d’effectif ﬁni 253 15 • Les tests statistiques 255 15.1 Notions générales sur les tests statistiques 255 15.2 Différentes catégories de tests statistiques 263 VI 15.3 Test entre deux hypothèses simples et méthode de Neyman et Pearson 264 15.4 Tests entre deux hypothèses composites 267 15.5 Principaux tests paramétriques 270 16 • Tests d’ajustement et de comparaison 277 16.1 Tests d’ajustement 277 16.2 Tests de comparaison d’échantillons 289 16.3 Analyse de la variance à simple entrée 299 17 • Tests d’indépendance 306 17.1 Variables quantitatives 306 17.2 Variables ordinales et corrélation des rangs 308 17.3 Concordance de p classements 313 17.4 Liaison entre une variable quantitative et une variable qualitative 314 17.5 Liaison entre deux variables qualitatives 316 18 • Fiabilité 321 18.1 Généralités et principales déﬁnitions 321 18.2 Déﬁnition mathématique de la ﬁabilité 322 18.3 Taux de défaillance 324 18.4 Fiabilité d’un matériel usagé 326 18.5 Fiabilité en cas de remplacement préventif 327 18.6 Espérance de vie 328 18.7 Exemples de lois de ﬁabilité 328 18.8 Fiabilité d’un système en fonction de celle de ses composants 332 D Analyse des données 19 • Introduction à l’analyse des données 337 19.1 Échantillon d’une variable aléatoire 338 19.2 Échantillon d’un couple de variables aléatoires 343 c ⃝Dunod – La photocopie non autorisée est un délit VII 19.3 Échantillon de p variables aléatoires 345 19.4 Présentation des principales méthodes 348 20 • Régression linéaire simple 352 20.1 Introduction 352 20.2 Mesures de liaison 353 20.3 Choix des variables 354 20.4 Modèle théorique de la régression simple 355 20.5 Ajustement du modèle de régression linéaire sur des données expérimentales 357 20.6 Étude de la régression linéaire (aspects descriptifs) 359 20.7 Étude de la régression linéaire (aspects inférentiels) 363 20.8 Étude d’une valeur prévisionnelle 371 20.9 Conclusions 375 21 • Régression multiple. Modèle linéaire général 376 21.1 Introduction 376 21.2 Régression entre variables aléatoires 377 21.3 Modèle linéaire général 382 21.4 Estimations des paramètres du modèle de régression (Y, Xb, s2 In) 385 21.5 Estimation du paramètre b du modèle linéaire 387 21.6 Tests dans le modèle linéaire 387 21.7 Intervalle de prévision 390 21.8 Corrélations 390 21.9 Fiabilité de la régression 393 22 • Analyse de la variance 410 22.1 Généralités et but de la théorie 410 22.2 Analyse de la variance à double entrée 411 22.3 Analyse de la variance orthogonale à entrées multiples 419 22.4 Analyse de la variance emboîtée 422 22.5 Carré latin 427 VIII Annexes Analyse combinatoire 433 Rappels mathématiques 436 Tables statistiques 442 Bibliographie 467 Index 471 c ⃝Dunod – La photocopie non autorisée est un délit IX PRINCIPALES NOTATIONS N Ensemble des entiers positifs ou nuls (on dit aussi les entiers naturels). N∗ Ensemble des entiers strictement positifs (cet ensemble ne contient pas 0). Z Ensemble des entiers de signes quelconques. Z∗ Ensemble Z sauf 0. R Ensemble des entiers de signes quelconques. R1 Ensemble des entiers positifs ou nuls. R∗ Ensemble des entiers non nuls. Cardinal d’un ensemble ﬁni (abréviation card) : L’entier naturel qui indique le nombre de ses éléments. Cardinal d’un ensemble inﬁni : un nombre appelé aleph. 1[a, b] fonction caractéristique de l’ensemble [a, b] égale à 1 pour les points de cet ensemble et à 0, sinon. Notation de la fonction exponentielle : ea ou exp a (la deuxième notation est utilisée pour éviter d’écrire un exposant trop long). Notation de la fonction logarithme : ln désigne le logarithme népérien et log le logarithme à base 10 sauf dans le cas de la loi log-normale. Factorielle n! 5 n(n −1)(n −2)...2 3 1. Matrice transposée : La matrice tA transposée de la matrice A est obtenue en permutant lignes et colonnes. c ⃝Dunod – La photocopie non autorisée est un délit XI A Statistique descriptive 1 • REPRÉSENTATION GRAPHIQUE ET NUMÉRIQUE DES DONNÉES 1.1 Généralités et principales déﬁnitions Ce premier chapitre donne les déﬁnitions et les propriétés des principales no- tions utiles pour comprendre et traiter un problème de statistique. La statistique descriptive a pour but : – de dégager les propriétés essentielles que l’on peut déduire d’une accumu- lation de données ; – de donner une image concise et simpliﬁée de la réalité. Le résultat d’une observation, d’une mesure, n’est pas égale à la valeur théo- rique calculée ou espérée par l’ingénieur ; la répétition d’une même mesure, réalisée dans des conditions qui semblent identiques, ne conduit pas tou- jours aux mêmes résultats. Ces ﬂuctuations, dues à des causes nombreuses, connues ou inconnues, contrôlées ou non, créent des difﬁcultés aux ingé- nieurs et aux scientiﬁques. Quel résultat doivent-ils prendre ? Quel degré de conﬁance peuvent-ils accorder à la décision prise ? Les réponses à une enquête varient d’un individu à un autre ; quelles conclusions valables peut-on tirer d’un sondage ? Les méthodes de la statistique descriptive apportent des ré- ponses à ces problèmes. Pour être soumis à un traitement statistique, un tableau de données doit com- porter au moins une variable de nature aléatoire. Une déﬁnition simple du caractère aléatoire d’une variable est qu’elle peut prendre au hasard des valeurs différentes. c ⃝Dunod – La photocopie non autorisée est un uploads/s3/ aide-memoire-statistique-et-probabilite-pour-l-x27-ingenieur.pdf